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Title of test: Ingegneria Informatica Description: Analisi 1, integrazione 3 CFU Author: Yumin Abbadini Other tests from this author Creation Date: 01/04/2025 Category: Mathematics Number of questions: 26

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Content:

L'equazione differenziale y'=y/t ha, come integrale generale (con k costante reale): y(t)=t+k y(t)=ln(t)+k y(t)=k ln(t) y(t)=kt. Se y(t) è la soluzione dell'equazione differenziale y'=cos t exp(-2y+sin t), con exp(x)=ex, che vale ln(4) per t=0, allora y(π) vale: ln(2/e) ln(2) 2ln(2) 2ln(2/e). Se y(t)=(t²-1)cos(t)+c, con c reale, è l'integrale generale di un'equazione differenziale, allora la soluzione del relativo problema di Cauchy con y(0)=2 è y(t)=(t²-1)cos(t)+3 y(t)=(t²-1)cos(t)+2 y(t)=(t²-1)cos(t)-2 y(t)=(t²-1)cos(t). Se y(t) è la soluzione dell'equazione differenziale y'=y/t+12/t2 che vale 0 per t=1, allora y(2) vale: 12 6 9 3. Se y(t)=t-k ln(1+|t|) è l'integrale generale di un'equazione differenziale (con k costante reale), allora la soluzione che vale 2 per t=0 si ha per: k=-2 k=2 nessun k k=0. Se y(t) è la soluzione del problema di Cauchy y'=ycos t, con y(0)=2, allora y(π) vale; 2 1 2e e². Se y(t) è la soluzione del problema di Cauchy (2-x)y'=y, con y(0)=-1/2, allora y(1) vale: 1 -1 -2 2. Il problema di Cauchy y'=2t(y-1)², con y(0)=1 ha una soluzione con limite infinito per t che tende all'infinito ha una soluzione del tipo y=1-(x²+c)⁻¹ ha y=1 come soluzione non ha soluzioni. Sapendo che y(t)=3eᵗ-eᵃᵗ-1 è una soluzione dell'equazione differenziale y"+y'-2y=2 e che a è un numero reale, allora a vale: 1 -1 o 2 1 o -2 2. Se y(x) è la soluzione del problema di Cauchy y'+2y=eˣ, y(1)=3, allora il limite per x che tende a +∞ di e⁻ˣy(x) vale: 0 3-e/3 +∞ 1/3. Se y(t) è la soluzione del problema di Cauchy y'=-2ty+t exp(-t²), y(0)=3, con exp(x)=eˣ, allora y(2) vale: 5/e⁴ 3/e⁴ 3e 5. Se y(t) è la soluzione del problema di Cauchy y'+ytan t=2cos t, con y(0)=0, allora y(π) vale: 2 -2π 2π -2. Se y(t) è la soluzione del problema di Cauchy y'+y=2sin t, con y(0)=0, allora y(π) vale: -2 e-π+1 1 eπ. Se y(t) è la soluzione del problema di Cauchy y'=-4y+e²ᵗ, con y(0)=1/3, allora y(1) vale: (e⁻⁴+e²)/6 (e⁻⁴-e²)/3 (e⁻⁴-e²)/6 e⁻⁴+e²)/3. Se y(t) è la soluzione del problema di Cauchy y"+y'-2y=0, y(0)=1, y'(0)=4, allora y(1) vale: e-2/e 2-e⁻² 4e-1/e 2e-e⁻² . L'equazione differenziale y"+y'-2y=0, con y(0) non nulla: ha soluzioni periodiche limitate ha soluzioni esponenziali illimitate ha soluzioni esponenziali limitate ha soluzioni periodiche illimitate. L'equazione differenziale y"-2y'+y=0 ha, come integrale generale y(t), una combinazione lineare delle funzioni eᵗ, eᵗ eᵗ, e⁻ᵗ eᵗ, teᵗ eᵗ, t. La soluzione generale dell'equazione differenziale y"+4y=0 può essere espressa, con a e b costanti reali, come: ae²ᵗ+be⁻²ᵗ at cos(2t)+bt sin(2t) ae²ᵗ+bte²ᵗ a cos(2t)+b sin(2t). Una soluzione dell'equazione differenziale y"+9y=0 è data dalla somma delle funzioni: Ae³ˣ, Bxe³ˣ Ax, Be³ˣ A, Be³ˣ Ae³ˣ, Be³ˣ. L'integrale generale dell'equazione differenziale y"+2y'-3y=0 è una combinazione lineare delle funzioni: eˣ, e⁻³ˣ e⁻ˣ, 2e³ˣ eˣcos 3x, eˣsin 3x cos 3x, sin 3x. Un'equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine, a coefficienti costanti, ha 1 come unica radice della corrispondente equazione caratteristica. Allora l'integrale generale dell'equazione differenziale è (a, b costanti reali): at+beᵗ aeᵗ+bteᵗ aeᵗ aeᵗ+beᵗ. Un'equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine, a coefficienti costanti, ha 0 e 1 come radici della corrispondente equazione caratteristica. Allora l'integrale generale dell'equazione differenziale è (a, b costanti reali): at+beᵗ aeᵗ+bteᵗ a+bt a+beᵗ. Un integrale generale dell'equazione y''-y=0 può essere espresso come: aeˣcos x+beˣsin x a cos x+b sin x aeˣ+bxeˣ ae⁻ˣ-beˣ. La soluzione del problema di Cauchy y"-2y'+y=eᵗ, y(0)=1, y'(0)=2 è y(t)=aeᵗ+bteᵗ+(1/2)t²eᵗ, con: a=0, b=1 a=1, b=-1 a=b=1 a=0, b=-1. Applicando il metodo di somiglianza, la forma ottimale per la ricerca di una soluzione particolare dell'equazione differenziale y"+y'-2y=10e⁻²ᵗ è: (at+b)e⁻²ᵗ ae⁻²ᵗ+b ate⁻²ᵗ ae⁻²ᵗ. L'equazione differenziale y"+y'-2y=teᵗ ha la soluzione particolare, per un opportuna A≠0, (At-9)eᵗ (At-3)eᵗ (At²-t/3)eᵗ (At²-t/9)eᵗ.

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