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Title of test: Metodi Matematici 1 Description: test per me Author: saverio Other tests from this author Creation Date: 28/07/2024 Category: Personal Number of questions: 76

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Un punto è esterno ad un insieme A : se esiste un suo intorno completo tutto contenuto nel complementare di A se esiste un suo intorno completo che contiene solo punto di A se esiste un suo intorno completo tutto contenuto in A se esiste un suo intorno completo che contiene un solo punto di A. Un punto è di frontiera per un insieme A : se esiste un suo intorno interno al complementare di A se ogni suo intorno contiene infiniti punti di A ed infiniti punti del suo complementare se ogni suo intorno contiene almeno un punto di A ed almeno un punto del suo complementare se esiste almeno un suo intorno tutto contenuto in A. Un punto isolato dell’insieme A è anche un punto di frontiera? sì no, è un punto esterno no, perché non esiste un suo intorno che contenga almeno un punto di A no, è un punto interno. Un punto x0 è un punto isolato per un insieme A: se esiste almeno un suo intorno che contiene punti di A diversi da x0 se esiste almeno un suo intorno che non contiene alcun punto di A diverso da x0 se esiste almeno un suo intorno che contiene infiniti punti di A se ogni suo intorno contiene almeno un punto di A diverso da x0. Un punto x0 è di accumulazione per un insieme A: se ogni suo intorno completo contiene almeno un punto di A diverso da x0 se esiste almeno un suo intorno completo che contiene punti di A diversi da x0 se esiste almeno un suo intorno completo che contiene almeno un punto di A e almeno un punto del complementare di A se esiste almeno un suo intorno completo che contiene infiniti punti di A. Un punto è interno ad un insieme A: se esiste almeno un suo intorno tutto contenuto in A se esiste un suo intorno che non contiene punti di A se esiste un suo intorno interno al complementare di A se esiste un suo intorno che contiene punti di A e del complementare di A. Un intervallo A ⊆R è un intervallo illimitato: se almeno un suo estremo è un valore finito se entrambi i suoi estremi sono valori finiti se entrambi i suoi estremi sono valori infiniti se almeno un suo estremo è un valore ∞. Come si definisce intorno sinistro di un punto x0? un intervallo aperto a destra e sinistra di raggio ε I= (x0-ε,x0) un intervallo aperto solo a sinistra di raggio ε I= ( x0+ε,x0] un intervallo chiuso di raggio ε I= [x0+ε,x0] un intervallo aperto solo a destra di raggio ε I= [x0 +ε,x0). Come si definisce intorno destro di un punto x0? un intervallo aperto a destra e a sinistra di raggio ε I= (x0,x0+ε) un intervallo aperto solo a destra di raggio ε I= [x0,x0+ε) un intervallo aperto solo a sinistra di raggio ε I= (x0,x0+ε] un intervallo chiuso di raggio ε I= [x0,x0+ε]. Cosa si intende per intorno completo di un punto x0? un intervallo di raggio ε chiuso sia a destra che a sinistra un intervallo di raggio ε aperto a destra un intervallo di raggio ε aperto a sinistra un intervallo di raggio ε aperto sia a destra che a sinistra. Un intervallo A ⊆R di dice chiuso a destra e aperto a sinistra? se a destra è limitato e l’ estremo destro è escluso se entrambi i suoi estremi sono esclusi se è limitato sia a destra che a sinistra è gli estremi sono inclusi se a destra è limitato e l’ estremo destro è incluso. L’insieme A ha un estremo superiore L : se L è un maggiorante di A se L è il più piccolo dei maggioranti di A se L è il più grande dei minoranti di A se L è il più grande dei maggioranti di A. Un intervallo A ⊆R è un intervallo limitato: se almeno un suo estremo è un valore ∞ se entrambi i suoi estremi sono valori finiti se entrambi i suoi estremi sono valori infiniti se almeno un suo estremo è un valore finito. L’insieme A ha un estremo inferiore l : se l è il più piccolo dei minoranti di A se l è il più grande dei minoranti di A se l è il più piccolo dei maggioranti di A se l è un minorante di A. Un insieme A è inferiormente limitato : se non ha maggioranti se ha almeno un maggiorante se non ha minoranti se ha almeno un minorante. Un insieme A è superiormente limitato : se non ha maggioranti se non ha minoranti se ha almeno un minorante se ha almeno un maggiorante. Cosa si definisce minorante di un insieme A? un elemento M di A tale che ogni a appartenente ad A sia maggiore o uguale ad M un elemento M di A tale che ogni a appartenente ad A sia minore ad M un elemento M di A tale che ogni a appartenente ad A sia maggiore di M un elemento M di A tale che ogni a appartenente ad A sia minore o uguale ad M. Cosa si definisce maggiorante di un insieme A? un elemento M di A tale che ogni a appartenente ad A sia minore o uguale ad M un elemento M di A tale che ogni a appartenente ad A sia minore o uguale di M un elemento M di A tale che ogni a appartenente ad A sia minore di M un elemento M di A tale che ogni a appartenente ad A sia maggiore o uguale ad M. Se il coefficiente angolare è uguale a zero come è l’inclinazione della retta? una parallela all’asse delle ascisse la bisettrice I-III quadrante una parallela all’asse delle ordinate la bisettrice II-IV quadrante. Una parabola con concavità verso il basso e Δ <0 : è sempre negativa, sotto l’asse delle ascisse è sempre positiva, sopra l’asse delle ascisse ha due intersezioni sull’asse delle ascisse x1 e x2 è tangente all’asse delle ascisse in un punto. Una parabola con concavità verso l'alto e Δ >0 è positiva : in corrispondenza a punti di ascissa esterna a x1 e x2 non è mai positiva è positiva per ogni x in corrispondenza a punti di ascissa compresa tra x1 e x2. Cosa esprime il coefficiente angolare della retta? esprime la misura dell’angolo con l’asse delle ordinate esprime la pendenza della retta rispetto all’asse delle ascisse esprime la misura dell’angolo con l’asse delle ascisse esprime la pendenza della retta rispetto all’asse delle ordinate. Se il coefficiente angolare è positivo l’inclinazione della retta rispetto all’asse x è: compresa tra 0 e 90 gradi compresa tra 90 e 180 maggiore di 180 gradi genericamente minore di 180 gradi. Se il coefficiente angolare è negativo l’inclinazione della retta rispetto all’asse x è: maggiore di 180 gradi genericamente minore di 180 gradi compresa tra 0 e 90 gradi compresa tra 90 e 180. Come si calcola il coefficiente angolare della retta espressa in forma implicita ax+by+c = 0? è uguale a (-a/c) è uguale a (-c/a) è uguale a (-a/b) è uguale a (-b/a). Cosa si intende per Dominio o Campo i Esistenza di una funzione f : R →R? è l’insieme in cui può variare la variabile indipendente svincolata dalla funzione è l’insieme costituito da tutti i valori che la funzione può assumere è l’insieme compreso fra estremo superiore ed estremo inferiore della funzione è l’insieme in cui la funzione non perde significato. Cosa si intende per Codominio di una funzione f : R →R? è l’insieme compreso fra estremo superiore ed estremo inferiore della funzione è l’insieme in cui la funzione non perde significato è l’insieme in cui può variare la variabile indipendente svincolata dalla funzione stessa è l’insieme costituito da tutti i valori che la funzione può assumere. Quando si dice che una funzione f : D(Dominio) → C ( Codominio) è suriettiva? quando ad ogni elemento di D è associato almeno un elemento di C quando agli elementi di C ( ma può essere non a tutti) è associato al massimo a un solo elemento di D quando ogni elemento di C e associato ad almeno un elemento di D quando ad ogni elemento di D corrisponde uno e un solo elemento di C e viceversa. Quando si dice che una funzione f : D(Dominio) → C ( Codominio) è iniettiva? quando ogni elemento di C e associato ad almeno un elemento di D quando ad ogni elemento di D è associato almeno un elemento di C quando agli elementi di C ( ma può essere non a tutti) è associato al massimo a un solo elemento di D quando ad ogni elemento di D corrisponde uno e un solo elemento di C e viceversa. Quando si dice che una funzione f : D(Dominio) → C ( Codominio) è biettiva o biunivoca? quando agli elementi di C ( ma può essere non a tutti) è associato al massimo a un solo elemento di D quando ogni elemento di C e associato ad almeno un elemento di D quando ad ogni elemento di D è associato almeno un elemento di C quando ad ogni elemento di D corrisponde uno e un solo elemento di C e viceversa. Perché esista la funzione inversa f -1 come deve essere la funzione f ? deve essere biettiva o biunivoca deve essere suriettiva il codominio deve coincidere con le immagini della funzione deve essere iniettiva. Il campo di esistenza, o dominio, della funzione f(x,y) = ln(xy) comprende gli assi cartesiani? No, sono entrambi esclusi Sì, li comprende entrambi No, comprende solo l’asse delle ordinate No, comprende solo l’asse delle ascisse. La funzione y = 3x + 1 è (la condizione più ampia): iniettiva biettiva suriettiva nessuna delle precedenti risposte. La funzione y= e^x è : non iniettiva iniettiva nessuna delle precedenti risposte suriettiva. La funzione y= x^4 +3x^2 è : pari invertibile dispari nessuna delle precedenti risposte. La funzione y= 2x^5 +3x^3 +x è : pari invertibile nessuna delle precedenti risposte dispari. Definire se la funzione y= 2x^2 -x potrebbe essere pari o dispari nessuna delle precedenti risposte è dispari è invertibile è pari. Il Dominio della funzione y = √((x^2)+x-2)) è : (x^2+x-2) ≥ 0 Dom (-∞,-2]U [1,+∞) (x^2+x-2) > 0 Dom (-∞,-2)U (1,+∞) (x^2+x-2) ≤0 Dom [-2,1] (x^2+x-2) <0 Dom (-2,1). Il Dominio della funzione y = (x^3)/((x^2)-1): ( (x^2)-1) ) >0 Dom(-∞,-1) U(1,+∞) (x^3) /( (x^2)-1) ) >0 Dom (-1,0) U(1,+∞) (x^2)-1) ≠0 Dom(-∞,-1) U(-1,1) U(1,+∞) x^3 ≠0 Dom(-∞,0) U(0,+∞). Il Dominio della funzione y = e^(1/(2x)): x ≠ 1/ 2 Dom (-∞,1/2)U(1/2,+∞) tutto l’asse Reale Dom (-∞,+∞) x > 0 Dom ( 0,+∞) x ≠ 0 Dom (-∞,0)U(0,+∞). Il Dominio della funzione y = ln(√((x^2)-2x)): (x^2 - 2x) <0 Dom (-2,1) (x^2 - 2x) ≥0 Dom (-∞,0]U [1,+∞) (x^2 - 2x) >0 Dom (-∞,0)U (1,+∞) (x^2 - 2x) ≤0 Dom [-2,1]. Il Dominio della funzione y = ln(x-2) è: x > 2 Dom ( 2,+∞) x > - 2 Dom (-2,+∞) x ≠ 2 Dom (-∞,2)U(2,+∞) x > 0 Dom (0,+∞). Nella definizione di limite finito la quantità infinitesima δ (ampiezza del’intorno di x0 è : funzione della scelta di ε piccola a piacere positiva positiva e piccola a piacere. Nella definizione di limite finito la quantità infinitesima ε (ampiezza del’intorno di f(x0)) è : positiva piccola a piacere funzione di altro infinitesimo positiva e piccola a piacere. Se per ogni ε esiste un M(ε) tale |f(x)-l|<ε per ogni |x|<M allora: l è il limite di f(x) per x che tende ad ∞ l è il limite di f(x) per x che tende a + ∞ il limite di f(x) per x che tende ad l è ∞ il limite di f(x) per x che tende ad ∞ è ∞. Se per ogni K esiste un δ(K) tale |f(x)|>K per ogni |x-x0|<δ allora: in x0 la funzione tende ad un valore finito la funzione per x che tende a ∞ tende ad x0 la funzione per x che tende ad ∞ tende a ∞ la funzione per x che tende a x0 tende ad ∞. Quando una funzione f ha in un punto x0 un asintoto verticale ? Quando il limite per x che tende a x0 è un valore finito Quando il limite per x che tende a ∞ è x0 Quando il limite per x che tende a ∞ è ∞ Quando il limite per x che tende x0 è ∞. Quando una funzione f ammette in un punto x0 un limite sinistro l ? Quando per ogni ε esiste un δ(ε) tale |f(x)|<ε per ogni x0<x<x0+δ Quando per ogni ε esiste un δ(ε) tale |f(x)-l|<ε per ogni x0-δ<x<x0 Quando per ogni ε esiste un δ(ε) tale |f(x)-l|<ε per ogni |x|<δ Quando per ogni ε esiste un δ(ε) tale |f(x)-l|<ε per ogni x0<x<x0+δ. Quando una funzione f ammette in un punto x0 un limite destro l ? Quando per ogni ε esiste un δ(ε) tale |f(x)-l|<ε per ogni x0<x<x0+δ Quando per ogni ε esiste un δ(ε) tale |f(x)-l|<ε per ogni |x|<δ Quando per ogni ε esiste un δ(ε) tale |f(x)-l|<ε per ogni x0-δ<x<x0 Quando per ogni ε esiste un δ(ε) tale |f(x)|<ε per ogni x0<x<x0+δ. Quando una funzione presenta in x0 una discontinuità di prima specie? Quando esistono il limiti destro e sinistro ma sono diversi tra loro Quando anche uno solo dei due limiti (destro o sinistro) non esiste o è infinito Quando esistono finiti i due limiti destro e sinistro e coincidono tra loro ma non coincidono con il valore assunto dalla funzione in x0 Quando non esistono entrambi i limiti. Quando una funzione presenta in x0 una discontinuità di seconda specie? Quando non esistono entrambi i limiti Quando anche uno solo dei due limiti (destro o sinistro) non esiste o è infinito Quando esistono finiti i due limiti destro e sinistro e coincidono tra loro ma non coincidono con il valore assunto dalla funzione in x0 Quando esistono il limiti destro e sinistro ma sono diversi. Quando una funzione presenta in x0 una discontinuità di terza specie? Quando non esistono entrambi i limiti Quando anche uno solo dei due limiti (destro o sinistro) non esiste o è infinito Quando esistono il limiti destro e sinistro ma sono diversi Quando esistono finiti i due limiti destro e sinistro e coincidono tra loro ma non coincidono con il valore assunto dalla funzione in x0. Quando una funzione y=f(x) è continua in un punto x0 ? Quando la funzione è definita ed assume valore in x0 Quando i due limiti esistono finiti e sono uguali Quando esistono, e sono finiti, i due limiti destro e sinistro in x0 Quando esistono finiti il limite destro e sinistro, coincidono tra loro e con il valore Assunto dalla funzione nel punto x0. Se una funzione f: R→R è dotata di limite: allora esso può assumere due valori finiti diversi allora esso può non essere l’unico allora esso può esistere ma tendere all’infinito allora esso è unico. Nella stessa funzione, possono coesistere l’asintoto obliquo e l’asintoto orizzontale ( entrambi a +∞ oppure – ∞) ? Solo per funzioni dispari Solo per funzioni pari Sì No. Una funzione in cui il limite andrà ad +∞ per x che tende a - ∞, ammetterà sicuramente un asintoto obliquo? No, non è condizione sufficiente Sì , in ogni caso No, solo nel caso in cui i segni degli infiniti coincidano No, solo se anche per - ∞ il limite è un ∞. Quale è la condizione necessaria perché una funzione possa presentare un asintoto obliquo? Che la funzione presenti un limite ∞ per x→x0 Che la funzione presenti un limite finito per x che tende ad un valore finito x0 Che la funzione presenti un limite finito l per x→∞ Che la funzione presenti un limite ∞ per x→∞. Qual è condizione sufficiente perché ci sia un asintoto verticale x=x0? Che entrambi tendano ad ∞ Che esistono entrambi finiti ma sono diversi Che il limite destro o il sinistro in x0 tendano ad ∞ Che un limite tenda a + ∞ e l’altro a - ∞. Quando una funzione f : R → R ha un asintoto orizzontale y=l ? Quando il limite per x che tende ad l è un valore finito Quando il limite per x che tende ad ∞ è l Quando il limite per x che tende ad ∞ è un valore finito Quando il limite per x che tende ad ∞ è ∞. La derivata prima di una funzione da indicazioni circa : la crescenza o decrescenza della curva i punti di flesso a tangente obliqua la concavità della curva la presenza di asintoti. Cosa si intende con la formula Δy/Δx? Il rapporto incrementale tra le incognite e coincide con il coefficiente angolare della retta tangente nel punto (x0 + h, f(x0+h)) Il rapporto incrementale tra le incognite e coincide con il coefficiente angolare della retta che collega il punto iniziale (x0, f(x0) ed il punto (x0 + h, f(x0+h)) Il rapporto incrementale tra le incognite e coincide con il coefficiente angolare della retta tangente nel punto (x0,f(x0)) Il rapporto incrementale tra le incognite ma non coincide con nessuno dei coefficienti angolare precedentemente citati. La tangente alla curva nei punti in cui si azzera la deriva prima è: parallela all’asse delle ordinate parallela all’asse delle ascisse obliqua, formando angoli > 90 gradi con l’asse delle ascisse se la curva è decrescente obliqua, formando angoli < 90 gradi con l’asse delle ascisse se la curva è crescente. Se la derivata prima di una funzione f: R → R in un intervallo I è positiva ivi la curva: ha dei massimi o minimi è crescente è decrescente ha dei flessi stazionari. Sia data una funzione f(x) continua e derivabile (2 volte) in un intervallo I∈R ove ha derivata seconda > 0 . Allora in I la funzione ha: Un punto di flesso a tangente obliqua Un punto di flesso stazionario Concavità verso il basso Concavità verso l’alto. In un punti di flesso stazionario cosa si azzera? Sia la derivata prima che la derivata seconda Nessuna delle due Solo la derivata seconda Solo la derivata prima. Operativamente, a cosa è equivalente il rango di una matrice? Equivale al più piccolo degli ordini dei suoi minori con determinante diverso da zero Equivale al più alto degli ordini dei suoi minori con determinante diverso da zero Equivale al più alto degli ordini dei suoi minori con determinante uguale a zero Equivale al numero di minori deducibili dalla matrice. A cosa corrisponde dal punto di vista operativo il rango di una matrice? L’ordine più alto del minore con il determinante uguale a zero L’ordine più alto del minore con il determinante diverso da zero L’ordine di un minore con il determinante diverso da zero L’ordine di un minore con il determinante uguale a zero. Cosa si intende per rango di una matrice? Il numero di colonne della matrice Il numero di righe della matrice Il numero massimo di vettori riga/colonna linearmente indipendenti Il numero massimo di sottomatrici quadrate che ammette. Se il rango della matrice completa e di quella incompleta sono uguali, il sistema a cui si riferiscono avrà: Una e una sola soluzione se entrambi sono minori del numero delle incognite Una e una sola soluzione se entrambi sono maggiori del numero delle incognite Una e una sola soluzione se entrambi sono uguali al numero delle incognite Sempre una e una sola soluzione. Se il rango della matrice completa e di quella incompleta sono diversi il sistema a cui si riferiscono avrà: Infinite soluzioni se entrambi sono minori del numero delle incognite Sempre nessuna soluzione Infinite soluzioni se entrambi sono uguali del numero delle incognite Infinite soluzioni se entrambi sono maggiori del numero delle incognite. Per il teorema di Rouchè-Capelli, dette A e A|b rispettivamente la matrice incompleta e la matrice completa del sistema, un sistema lineare è determinato se : Rg (A) = Rg(A|b) < n numero delle incognite Rg (A) ≠ Rg(A|b) Rg (A) = Rg(A|b) Rg (A) = Rg(A|b) = n numero delle incognite. Per il teorema di Rouchè-Capelli, dette A e A|b rispettivamente la matrice incompleta e la matrice completa del sistema, un sistema lineare è indeterminato se: Rg (A) = Rg(A|b) = n numero delle incognite Rg (A) ≠ Rg(A|b) Rg (A) = Rg(A|b) Rg (A) = Rg(A|b) < n numero delle incognite. Per il teorema di Rouchè-Capelli, dette A e A|b rispettivamente la matrice incompleta e la matrice completa del sistema, un sistema lineare è impossibile se : Rg (A) = Rg(A|b) < n numero delle incognite Rg (A) = Rg(A|b) = n numero delle incognite Rg (A) ≠ Rg(A|b) Rg (A) = Rg(A|b). Se il rango della matrice completa e di quella incompleta sono uguali, il sistema a cui si riferiscono avrà: Infinite soluzioni se entrambi sono maggiori del numero delle incognite Infinite soluzioni se entrambi sono uguali del numero delle incognite Infinite soluzioni se entrambi sono minori del numero delle incognite Sempre infinite soluzioni. Quando un sistema si dice omogeneo? Quando i coefficienti di una stessa incognita sono uguali Quando tutti i termini noti sono uguali ad 1 Quando tutti i termini noti sono uguali Quando tutti i termini noti sono nulli. Un sistema omogeneo può essere impossibile? No, è sempre determinato con un'unica soluzione Si, se Rango A diverso da zero Sì , se rango A diverso da Rango A|b No, ammette sempre almeno una soluzione.

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