Algebra ed Elementi di Geometria

Sia X un insieme finito. Allora è l'insieme dei numeri reali. Allora il numero dei suoi elementi si chiama cardinalità ed è pari ad un numero naturale n. Allora inìl numero dei suoi elementi è maggiore di infinito. Allora è per forza l'insieme vuoto.

Un'applicaizone si dice invertibile. Se si può comporre con l'applicazione identità. nessuna delle precedenti. Se si può comporre con una qualsiasi applicazione. se esiste un'applicazione tale che applicandola a destra o a sinistra dell'applicazione iniziale mi dia l'applicazione identità.

Dato un insieme X, un suo sottoinsieme S. è l'insieme dei numeri naturali. è un insieme che necessariamente contiene tutti gli elementi di X. è tale che tutti gli elementi di S appartengono anche a X. è un insieme che non contiene nessun elemento di X.

Il coniugio complesso. non si può calcolare. è il simmetrico di un numero complesso, rispetto all'origine. non può essere calcolato per i numeri reali. di un numero è il numero reale stesso.

Si definisce unità immaginaria. il punto (1,0) del piano Argand-Gauss. un numero che non esiste. nessuna delle precedenti. il punto (0,1) del piano Argand-Gauss.

dati due numeri interi a e b, allora diremo che. a divide b se esiste un intero c tale che si può scrivere ac=b. se a divide b, allora a è multiplo di b. se b=1, allora è un divisore proprio di a. non si può dare un criterio di divisibilità tra i due numeri.

il principio di induzione. ha tre diverse formulazioni. presuppone che siano verificate 2 condizioni affinchè valga la tesi che si vuol dimostrare. non è uno strumeto deduttivo. presuppone che siano verificate 4 condizioni affinchè valga la tesi che si vuol dimostrare.

Condizione necessaria e sufficiente affinché un'applicazione si invertibile è che. l'applicazione è l'applicazione identità. l'applicazione è iniettiva. l'applicazione è suriettiva. l'applicazione è biiettiva.

Nella composizione di due applicazioni. l'ordine con cui vengono scritte le applicazioni non è importante. l'ordine con cui vengono scritte le applicazioni è importante. si devono avere due applicazioni che abbiano lo stesso dominio. si devono avere due applicazioni che abbiano lo stesso codominio.

Un'applicazione e biiettiva se. non è né iniettiva né suriettiva. è iniettiva. è sia iniettiva che suriettiva. è suriettiva.

L'immagine di un'applicazione. è l'insieme che contiene tutti gli elementi del codominio che sono immagine di qualche elemento del dominio. è l'insieme che contiene tutti gli elementi del dominio che hanno un'immagine nel codominio. è un insieme sempre vuoto. è il grafico dell'applicaizone nel piano cartesiano.

Un'applicazione tra due insiemi A e B è una legge che. associa ad alcuni elementi di A uno ed un solo elemento di B. associa ad ogni alemento di A uno ed un solo elemento di B. associa ad ogni elemento di A uno o più elementi di B. non associa alcun elemento.

L'unione di due insiemi A e B. è l'iunsieme di tutti gli elementi contenuti sia in A che in B. è l'insieme di tutti gli elementi contenuti in A oppure contenuti in B. è l'insieme di tutti gli elementi contenuti in A meno gli elementi contenuti in B. Nessuna delle precedenti.

Due insiemi A e B si dicono disgiunti se. La loro intersezione è vuota. La loro intersezione è uguale a B. La loro unione è vuota. La loro unione è uguale ad A.

Due insiemi Ae B sono uguali. Se A è sottoinsiem di B. Se B è sottoinsieme di A. Se A è sottoinsieme di B e B è sottoinsieme di A. Se A è sottoinsieme di B oppure B è sottoinsieme di A.

una relazione riflessiva, antisimmetrica e transitiva. è una relazione di ordine forte. non è nessuna tipologia di relazione. è una relazione di equivalenza. è una relazione di ordine debole.

la coppia (G,*) è un gruppo abeliano se. * è un'operazione commutativa. * è un'operazione associativa. G non ha elementi invertibili. * è associativa e commutativa, ogni elemento di G è invertibile ed esiste l'elemento neutro rispetto a *.

Secondo il teorema di Cantor. nessuna delle precedenti. la cardinalità di A è diversa dalla cardinalità dell'insieme delle parti di A. non si possono mettere in relazione la cardinalità dell'iniseme A e la caridanlità dell'insieme delle parti di A. la cardinalità di A è uguale alla cardinalità dell'insieme delle parti di A.

Un insieme A si dice numerabile se esiste una biiezione tra A e l'insieme dei numeri. naturali. interi. razionali. reali.

Dati due insiemi A e B. non possono avere la stessa cardinalità. hanno la stessa cardinalità se esiste un'applicazione da A in B biiettiva. hanno la stessa cardinalità se esiste un'applicazione da A in B suriettiva. hanno la stessa cardinalità se esiste un'applicazione da A in B iniettiva.

Dato un insieme ordinato (A,<=). nessuna delle precedenti. se ammette elemento minimo, esso non è unico. se ammette elemento minimo, esso è unico. se ammette elemento minimo, non può ammettere elemento massimo.

Una partizione di A. è la famiglia di sottoinisiemi di A tali che sono tutti vuoti. è la famiglia di sottoinisiemi di A tali che sono tutti non vuoti, la cui intersezione da A. è la famiglia di sottoinisiemi di A tali che sono tutti non vuoti, a due a due disgiunti, la cui unione da A. è una qualsiasi famiglia di sottoinsiemei di A.

La classe di equivalenza di a modulo un relazione R. è l'insieme formato da tutti gli elementi che sono in relazione con a. non contiene a. è sempre vuota. è l'insieme formato da tutti gli elementi che non sono in relazione con a.

una relazione di equivalenza è. riflessiva, antisimmetrica e transitiva. riflessiva e antisimmetrica. irriflessiva, simmetrica e transitiva. riflessiva, simmetrica e transitiva.

L'inverso di a elemento di un monoide (M,*) dotato di elemento neutro u. è l'elemento neutro della somma. esiste sempre. è l'elemento b, tale che b*a=a*b=u. è a stesso.

Dato un semigruppo (A,*). ammette sempre elemento neutro. se ammette elemento neutro, allora esso non è unico. se ammette elemento neutro, allora esso è unico. nessuna delle precedenti.

Dato un insieme A, un'operazione * binaria interna su A ed un sottoinsieme S di A. diremo che S è chiuso rispetto a * se per ogni a,b elementi di S succede che a*b è un elemento di S. diremo che S è aperto rispetto a * se per ogni a,b elementi di S succede che a*b non è un elemento di S. diremo che S è chiuso rispetto a * se per ogni a,b elementi di S succede che a*b non è un elemento di S. diremo che S è aperto rispetto a * se per ogni a,b elementi di S succede che a*b è un elemento di S.

Un semigruppo. è difinito da una coppia formata da un insieme A e un'operazione associativa sull'iniseme A. è difinito da una coppia formata da un insieme A e un'operazione di somma. è difinito da una coppia formata da un insieme A e un'operazione commutativa sull'iniseme A. è un insiem vuoto.

Un'operazione associativa su un insieme A. è l'operazione di sottrazione. è un'operazione * tale che per ogni a,b,c elementi di A succede che a*(b*c)=(a*b)*c. tutte le precedenti. è un'operazione * tale che per ogni a,b elementi di A succede che a*b=b*a.

Un'applicazione interna binaria su un insieme A. è un'operazione tra due elementi di A che da come risultato un elemento di A. è un'operazione tra due elementi qualsiasi (anche non in A) che da come risultato un elemento di A. nessuna delle precedenti. è un'applicazione definita per un elemento di A che da come risultato ancor aun elemento di A.

Data un'equazione alle congruenze f(x) congruo a 0 modulo n. ha come soluzione solo il rappresentate della classe di congruenz aindividuata. TUtti gli altri elementi che fanno parte della classe di congruenza non sono soluzione dell'equazione. non ammette soluzioni. non è possibile formulare un criterio di risolvibilità. ha come soluzione un intero a tale che f(a) è congruo a 0 modulo n.

Dati a,b due interi e p un numero primo. Diremo che l'equazione alle congruenze ax congruo b modulo p. ammette soluzioni se e solo se p divide a oppure p non divide. ammette soluzioni se e solo se p divide b oppure p non divide a. nessuna delle precedenti. non ammette soluzioni.

Dati due nuemri interi a,b, allora le'quazione alle congruenze ax congruo b modulo n. ammette soluzioni se e solo se MCD(a,b)=n. ammette soluzioni se e solo se MCD(a,n)|b. ammette soluzioni se e solo se MCD(a,n)=b. non ammette soluzioni.

data un'equazione alle congruenze. ha infinite soluzioni. Non si può decretare il numero di soluzioni dell'equazione. ha un numero di soluzioni finito. ammette sempre un'unica soluzione.

Se a è congruente modulo n a b, e c è congruente modulo n a d, allora. nessuna delle precedenti. (a+d) è congruente modulo n a (b+c). (a+b) è congruente modulo n a (c+d). (a+c) è congruente modulo n a (b+d).

un intero positivo è divisibile per 11 se e solo se. la somma delle sue cifre decimali di posto pari è congrua modulo 11 alla somma delle cifre decimali dispari. la somma delle cifre decimali pari è congrua modulo 1 a 11. la somma delle cifre decimali pari è congrua modulo 11 a 0. la somma delle cifre decimali dispari è congrua modulo 11 a 0.

Chiamato Zn l'insieme quoziente della congruenza modulo n. la sua cardinalità è minore di n. non è un insieme finito. la sua cardinalità è pari a n+1. la sua cardinalità è pari a n.

Dato n un numero naturale maggiore o uguale a 1, da a un numero intero, allora. non ci sono relazioni di congruenza con il resto delle divisione di a per n. a è congruente modulo n al resto delle divisione di n per a. nessuna delle precedenti. a è congruente modulo n al resto delle divisione di a per n.

Dato n un numero naturale maggiore o uguale a 1, e dati a,b due numeri interi. Diremo che a è congruente a b modulo n se. a divide b. b divide a. n divide sia a che b. n divide (a-b).

Le congruenze. sono relazioni di ordine forte. sono relazioni di ordine debole. sono relazioni di equivalenza. non sono alcun tipo di relazione.

L'algortimo di Euclide. non esiste. è una formula per trovare l'area di un triangolo. è un algoritmo di divisione tra polinomi senz aresta. è un algoritmo di divisione tra polinomi.

Un campo F si dice. algebricamente aperto se ogni polinomio di grado maggiore o ugale a 1 in f[x] ammette almeno una radice in F. algebricamente aperto se ogni polinomio di grado maggiore o ugale a 1 in f[x] non ammette nessuna radice in F. algebricamente chiuso se ogni polinomio di grado maggiore o ugale a 1 in f[x] ammette almeno una radice in F. algebricamente chiuso se ogni polinomio di grado maggiore o ugale a 1 in f[x] non ammette nessuna radice in F.

Sia dato un polinomio f di grado n maggiore o uguale a zero, allora il polinomio. ha almeno n radici. ha al più n radici. ha infinite radici. ha un'unica radice.

sia a una radice del polinomio f. a è semplice se la molteplicità algebrica è pari a 1. a è semplice se la molteplicità algebrica è nulla. a è multipla se la molteplicità algebrica è pari a 1. a è semplice se la molteplicità algebrica è maggiore di 1.

sia dato un polinomio f. una radice di f è un elemento a tale che f(a)?0. una radice di f è il suo termine noto. nessuna delle precedenti. una radice di f è un elemento a tale che f(a)=0.

dato F un domnio a fattorizzazione unica. nessuna delle precedenti ogni polinomio non nullo di grdo diverso da zero si. fattorizza in modo non unico come prodotto di polinomi irriducibili. ogni polinomio non nullo di grdo diverso da zero si fattorizza in modo unico come prodotto di polinomi irriducibili. ogni polinomio non nullo di grdo diverso da zero si fattorizza in modo unico come prodotto di polinomi riducibili.

dati di due polinomi f e g, tali che g è un divisore di f , allora. nessuna delle precedenti. g è divisore proprio di f se il grado di g è uguale al grado di f. g è divisore proprio di f se il grado di g è maggiore del grado di f. g è divisore proprio di f se il grado di g è minore del grado di f.

dati due polinomi f e g, allora diremo che. f non può mai dividere g. f divide g se esiste un polinomio h tale che f=gh. f divide g se esiste un polinomio h tale che g=fh. f divide g se esiste un polinomio h tale che h=fg.

Dati i polinomi f=x e g=x+1. f non divide g. f e g sono uguali. f divide g. nessuna delle precedenti.

Per la costruzione formale dell'anello dei polinomi ci siamo serviti. di una relazione di equivalenza. dell'insieme delle sequenze mai nulle. del concetto di sottoinsieme chiuso. dell'insieme B delle sequenze quasi ovunque nulle.

il grado del prodotto di due polinomi. è minore o uguale al massimo tra il grado dei singolo polinomi. è maggiore della somma dei gradi dei singoli polinomi. è esattamente uguale alla somma dei gradi dei singoli polinomi. nessuna delle precedenti.

Il grado della somma di due polinomi. è esattamente uguale alla somma dei gradi dei singoli polinomi. è maggiore della somma dei gradi dei singoli polinomi. è minore o uguale alla somma dei gradi dei singoli polinomi. è minore o uguale al massimo tra il grado dei singolo polinomi.

in un polinomio. il termine noto è sempre nullo. il coefficiente direttivo è sempre pari a 1. il coefficiente direttivo è il coefficiente del termine di grado maggiore. il coefficiente direttivo è il coefficiente del termine di grado minore.

Il polinomio somma di due polinomi dati. è dato dal polinomio che ha come coefficienti la somma dei coefficienti dei termini dello stesso grado. non si può calcolare se i polinomi hanno graid idversi. è dato dal polinomio che ha come incognite la somma delle incognite dei coefficienti dello stesso grado. è dato dalla somma dei termini noti.

il principio di identità dei polinomi afferma che. due polinomi sono uguali se i coefficienti corrispondenti sono tutti diversi. due polinomi sono uguali se i coefficienti corrispondenti sono tutti uguali. due polinomi sono uguali se hanno lo stesso termine noto. non si può decretare se due polinomi sono uguali.

La matrici quadrate. nessuna delle precedenti. hanno lo stesso numero di righe e di colonne. hanno un numero di righe maggiore del numero di colonne. hanno un numero di colonne maggiore del numero di righe.

si definisce minore di A di ordine k. un matrice rettangolare che si ottiene togliendo k righe da A. una matrice quadrata di ordine k che si ottiene scegliendo k righe e k colonne di A, con gli elementi di righe e colonne scambiati di posto. un matrice rettangolare che si ottiene togliendo k colonne da A. una matrice quadrata di ordine k che si ottiene scegliendo k righe e k colonne di A, con gli elementi di righe e colonne nello stesso ordine.

Condizione necessaria e sufficiente affinché una matrice sia invertibile è che. nessuna delle precedenti. il suo determinante sia uguale a zero. il suo determinante sia diverso da zero. sia una matrice singolare.

data una matrice quadrata A. nessuna delle precedenti. è non singolare se il suo determinante è diverso da zero. è non singolare se il suo determinante è uguale a zero. è singolare si il suo determinante è diverso da zero.

il determinante di una matrice. non è una funzione che riguarda le matrici. si può calcolare solo per matrici rettangolari. si può calcolare solo per matrici triangolari. si può calcolare solo per matrici quadrate.

una matrice triangolare. può essere triangolare superiore o inferiore. nessuna delle precedenti. non è una matrice quadrata. è una matrice rettangolare.

Una matrice si dice simmetrica se. è uguale alla sua trasposta. è uguale alla sua opposta. è una matrice diagonale. è uguale alla sua inversa.

nell'effettuare il prodotto riga per colonna tra due matrici. è importante controllare che il numero di colonne della prima sia uguale al numero di righe della seconda. è importante controllare che le matrici abbiano lo stesso numero di righe. è importante controllare che il numero di righe della prima sia uguale al numero di colonne della seconda. è importante controllare che le matrici abbiano lo stesso numero di colonne.

il prodotto di una matrice per uno scalare. ha come risultato uno scalare. ha come risultato una matrice i cui elementi sulla diagonale sono moltiplicati per lo scalare. ha come risultato una matrice i cui elementi sulla diagonale sono divisi per lo scalare. ha come risultato una matrice i cui elementi sono tutti moltiplicati per lo scalare.

la coppia formata dall'insieme delle matrici di tipo mxn e l'operazione di somma tra matrici. è un gruppo abeliano. è un gruppoide. è un campo. è un monoide.

le operazioni che si possono svolgere tra matrici sono. somma. tutte le precedenti. prodotto riga per colonna. prodotto per uno scalare.

Data una matrice A di tipo mxn, la sua trasposta. è una matrice che si ottiene scambiando l'ordine delle colonne della matrice A. è una matrice che si ottiene scambiando le righe con le colonne della matrice A. è una matrice che si ottiene scambiando l'ordine delle righe della matrice A. è una matrice di tipo mxn.

una matrice di tipo mxn. nessuna delle precedenti. ha mxn righe ed mxn colonne. ha n righe ed m colonne. ha m righe ed n colonne.

La somma tra due vettori. nessuna delle precedenti. da come risultato un vettore le cui generiche coordinate i-esime sono date dalla somma delle coordinate i-esime dei singoli vettori. da come risultato un vettore di cui però non conosciamo le caratteristiche. da come risultato uno scalare.

Un vettore è determinato da. direzione. modulo. direzione, verso e modulo. verso.

Se in un sistema lineare. cambio l'ordine delle equazioni, l'insieme delle soluzioni non cambia. cambio l'ordine delle equazioni, cambia anche la soluzione.

Un sistema lineare si dice omogeneo se. è incompatibile. ammette almeno due soluzioni. il vettore B dei termini noti è nullo. non ammette soluzioni.

la forma matriciale di un sistema lineare di m equazioni in n incognite è la scrittura AX=B. dove A è la matrice dei coefficienti, X è il vettore dei termini noti e B è il vettore delle incognite. dove A è la matrice completa, X è il vettore delle incognite e B è il vettore dei termini noti. dove A,X e B sono tutte matrici mxn. dove A è la matrice dei coefficienti, X è il vettore delle incognite e B è il vettore dei termini noti.

Dati due sistemi lineari. essi sono equivalenti se sono diversi. essi sono equivalenti se hanno le stesse soluzioni. essi sono equivalenti se hanno lo stesso determinante. essi sono equivalenti se hanno lo stesso rango.

Nella risoluzione di sistemi lineari, se ho verificato che il sistema ammette soluzioni, e considero il sistema formato dalle sole righe che fanno parte del suo minore di ordine massimo. nessuna delle precedenti. ottengo un sistema equivalente a quello di partenza. ottengo un sistema che non ha relazione con il sistema di partenza. ottengo un sistema equivalente al primo, ma che ha soluzioni diverse da quello di partenza.

In un sistema lineare per cui vale l'ipotesi di Rouchè-Capelli, per trovarne le soluzioni considero il minore di ordine massimo tale che il suo determinante è nullo. nessuna delle precedenti. in questo caso possiamo cancellare e trascurare le righe che non fanno parte del minore. in questo caso possiamo cancellare e trascurare le righe e le colonne che non fanno parte del minore. in questo caso possiamo cancellare e trascurare le colonne che non fanno parte del minore.

Se un sistema lineare ha m equazion in n incognite. ammette sempre soluzione. ammette soluzioni se il suo determinante è uguale a zero. ammette soluzioni se il rango della matrice dei coefficienti è pari al rango della matrice completa. ammette soluzioni se il suo determinante è nullo.

Un sistema lineare di m equazioni in n incognite. è un insieme di m equazioni algebriche tali che siano polinomi di secondo grado in n indeterminate a coefficienti reali. è un insieme di m equazioni algebriche tali che siano polinomi di m in n indeterminate a coefficienti reali. è un insieme di n equazioni algebriche tali che siano polinomi di primo grado in m indeterminate a coefficienti reali. è un insieme di m equazioni algebriche tali che siano polinomi di primo grado in n indeterminate a coefficienti reali.

il Metodo Gauss-Jordan. non si può applicare su sistemi lineari. non è utile per la risoluzione di sistemi di grandi dimensioni, in quanto aumenta notevolmente il numero di calcoli di svolgere. è utile per la risoluzione di sistemi di grandi dimensioni, in quanto diminuisce notevolmente il numero di calcoli di svolgere. è utile per la risoluzione di sistemi di piccole dimension.

Dato un sistema lineare di m eqauzioni in n incognite. risulta determinato se il rango di A è diverso da quello di A'. risulta indeterminato se il rango di A è uguale a quello di A'. risulta determinato se il rango di A è uguale a quello di A'. risulta indeterminato se il rango di A è diverso da quello di A'.

Il teorema di Rouchè-Capelli. si può applicare per sistemi tali che il determinante della matrice dei coeffcienti è nullo. afferma che un sistema lineare ammette soluzioni se il rango dellamatirce dei coefficienti è uguale al rango della matrice completa del sistema. da infromazioni su come calcolare la soluzione di un sistema. afferma che un sistema lineare ammette soluzioni se il rango dellamatirce dei coefficienti è diverso dal rango della matrice completa del sistema.

Il teorema di Cramer. Non da alcuna formula per il calcolo delle soluzioni di un sistema. Si può applicare solo a sistemi di n equazioni in n incognite. Si può applicare solo a sistemi di m equazioni ed n incognite. Si può applicare se la matrice dei coefficienti associata è rettangolare.

Un sistema lineare. se è compatibile allora è determinato, ovvero ammette infinite soluzioni. può essere compatibile, incompatibile o neutro. se è compatibile allora è determinato, ovvero ammette un'unica soluzione. se è compatibile allora non ammette soluzioni.

Ad un sistema lineare. viene associata una matrice di coefficienti tale che, se il sistema è di n equazioni in n incognite, è quadrata. viene associata una matrice di coefficienti che è uguale alla matrice completa. nessuna delle precedenti. viene associata una matrice completa tale che, se il sistema è di n equazioni in n incognite, è quadrata.

La matrice dei coefficienti di un sistema lineare di m equazioni in n incognite. è di tipo nxm. ha m righe ed n colonne. è di tipo mxn. ha un colonna di termini noti del sistema.

un sottoinsieme B di uno spazio vettoriale V di dimensione finita. è sempre una base per V. non può essere una base di V. è una base per V se ogni elemento di V si può scrivere come combinazione lineare di elementi di B. è una base se gli elementi di B sono linearmente dipendenti.

La scelta del campo base. Non influisce sul calcolo della dimensione di uno spazio vettoriale. deve essere sempre l'insieme dei numeri reali. nessuna delle precedenti. Influisce sul calcolo della dimensione dello spazio vettoriale.

La dimensione di uno spazio vettoriale V. nessuna delle precedenti. è il numero di elementi che compone una sua base. è sempre finita. è finita se la baanche se di V ha un numero infinito di elementi.

Uno spazio vettoriale V. può ammettere più di una base. Due diverse basi di uno stesso spazio vettoriale possono avere numeri di elementi diversi. può ammettere più di una base. Due diverse basi di uno stesso spazio vettoriale sono equipotenti. può non ammettere alcuna base. ammette un'unica base.

Sia definisce base di uno spazio vettoriale V. Un sottoinsieme B di V tale che è un insieme di generatori linearmente dipendenti. Un qualsiasi sottoinsieme B di V di vettori linearmente indipendenti. Un sottoinsieme B di V tale che è un insieme di generatori linearmente indipendenti. Un qualsiasi sottoinsieme B di V di vettori linearmente dipendenti.

Dato un insieme di n vettori, essi sono linearmente dipendenti. nessuna delle precedenti. se esistono n coefficienti non tutti nulli tali che danno una combinazione lineare degli n vettori non nulla. se esistono n coefficienti tutti nulli tali che danno una combinazione lineare degli n vettori non nulla. se esistono n coefficienti non tutti nulli tali che danno una combinazione lineare degli n vettori nulla.

un insieme si dice linearmente indipendente. se esiste una sola n-upla di suoi elementi che è linearmente indipendente. se tutte le n-uple dei suoi elementi sono linearmente indipendenti. se esiste una sola n-upla di suoi elementi che è linearmente dipendente. se tutte le n-uple dei suoi elementi sono linearmente dipendenti.

Nella somma tra vettori. da come risultato un vettore applicato. il vettore AB rappresenta lo zero di V se e solo se A è diverso da B. non esiste l'opposto di un vettore. da come risultato un vettore geometrico, ovvero una classe di equivalenza.

Dato V uno spazio vettoriale, allora se W è un suo sottospazio vettoriale. W contiene qualsiasi combinazione lineare finita di elementi di W. W è l'insieme vuoto. nessuna delle precedenti. W è esattamente uguale a V.

Un vettore geometrico. nessuna delle precedenti. è il rappresentante di una classe di equivalenza. è un vettore applicato. è una qualsiasi classe di equivalenza della relazione di equivalenza tra segmenti orientati.

Dati due segmenti orientati. non possono essere messi in relazione se non hanno lo stesso punto di applicazione. possono essere messi in relazione con la seguente relazione di equivalenza: due segmenti orientati sono equivalenti se e solo se giacciono sullo stesso piano e il loro punti di applicazione e gli estremi liberi sono i vertici di un parallelogramma. possono essere messi in relazione con la seguente relazione di equivalenza: due segmenti orientati sono equivalenti se e solo se non giacciono sullo stesso piano. non possono essere messi in relazione se non hanno lo stesso estremo libero.

Se considero l'insieme dei numeri complessi. è sia un C-spazio vettoriale che un R-spazio vettoriale. esso non è uno spazio vettoriale. è uno C-spazio vettoriale, ma non un R-spazio vettoriale. è uno R-spazio vettoriale, ma non un C-spazio vettoriale.

In uno spazio vettoriale V. gli elementi del campo base vengono detti scalari. gli elementi di V vengono detti scalari. Nessuna delle precedenti. gli elementi del campo base vengono detti vettori.

Uno spazio vettoriale. è un insieme V su un campo K tale che (V,+) è gruppo abeliano. è un insieme V su un anello K tale che (V,+) è gruppo abeliano. è un insieme V su un campo K tale che (V,+) è gruppo abeliano ed esiste un'operazione detta prodotto per uno scalare che verifica 4 proprietà. è un insieme V su un anello K tale che (V,+) è gruppo abeliano ed esiste un'operazione detta prodotto per uno scalare che verifica 4 proprietà.

Dato uno spazio vettoriale V, un suo sottospazio vettoriale W è. un sottoinsieme non vuoto di V tale che è chiuso rispetto all'operazione di somma di V, ma non rispetto all'operazione di prodotto per uno scalare. un qualsiasi sottoinsieme di V. un sottoinsieme non vuoto di V tale che è chiuso rispetto alle operazioni di somma e prodotto per uno scalare di V. un sottoinsieme di V tale che è vuoto.

Si consideri un'applicazione lineare f:V->W con Ve W due spazi vettoriali. allora la somma delle dimenisoni del nucleo e dell'immagine di f è uguale alla dimensione di W. allora la differenza delle dimenisoni del nucleo e dell'immagine di f è uguale alla dimensione di V. allora la somma delle dimenisoni del nucleo e dell'immagine di f è uguale alla dimensione di V. allora il prodotto delle dimenisoni del nucleo e dell'immagine di f è uguale alla dimensione di V.

Date due applicazioni lineari f:V->W e g:W->U, allora. la composizione g°f è un'applicazione lineare. la composizione g°f non è un'applicazione lineare. non si può fare la composizione di f e g. la matrice associata alla composizione g°f è l'inversa dell matrice associata all'applicazione f°g.

se Ve W sono spazi vettoriali di dimensioni rispettivamente n e m. allora l'insieme Hom(V;W) ha dimensione infinita. allora l'insieme Hom(V;W) ha dimensione finita pari a m. allora l'insieme Hom(V;W) ha dimensione finita pari a n*m. allora l'insieme Hom(V;W) ha dimensione finita pari a n.

Data un'applicazione lineare f:V->W, con V e W spazi vettoriali di dimensioni rispettivamente n e m. la matrice A associata all'applicazione è di tipo mxn. la matrice A associata all'applicazione è una matrice quadrata. la matrice A associata all'applicazione è di tipo nxm. nessuna delle precedenti.

L'immagine di un'applicazione lineare f:V->W, con Ve W spazi vettoriali. è un sottoinsieme di V. è un sottospazio vettoriale di V. è sottospazio vettoriale di W. nessuna delle precedenti.

Il nucleo di una funzione lineare f:V->W, con V e W spazi vettoriali. contiene il solo vettore nullo. è l'insieme vuoto. nessuna delle precedenti. contiene tutti gli elementi di V che hanno 0 come immagina attraverso la f.

Dati due spazi vettoriali V e W, allora l'insieme delle applicazioni lineari da V a W. è uno spazio vettoriale. non è un anello. è un anello. non è uno spazio vettoriale.

Data un'applicazione lineare f:V->W, con V e W spazi vettoriali distinti. può essere un endomorfismo. nessuna dell precedenti. non può essere biiettiva. è sempre un'isomorfismo.

Un isomorfismo. è un'applicazione iniettiva tra spazi vettoriali sullo stesso campo. è un'applicazione biiettiva tra spazi vettoriali sullo stesso campo. è un'applicazione suriettiva tra spazi vettoriali sullo stesso campo. è un'applicazione biiettiva tra insiemi.

Un'applicazione lineare. è un'applicazione definita tra due anelli. è un'applicazioni definita tra due spazi vettoriali. è un'applicazione definita tra due insieme qualsiasi. è un'applicazione definita tra uno spazio vettoriale e il suo campo base.

Avere lo stesso polinomio caratteristico. è condizione sufficiente per dire che due matrici sono simili. è condizione necessaria, ma non sufficiente per dire che due matrici sono simili. è condizione sufficiente, ma non necessaria per dire che due matrici sono simili. è condizione necessaria e sufficiente per dire che due matrici sono simili.

Dato un endomorfismo F:V->V, con V spazio vettoriale. diremo che W è sottospazio F-invariante di V se F(W) non è contenuto in V. diremo che W è sottospazio F-invariante di V se F(W) è contenuto in V. nessuna delle precedenti. diremo che W è sottospazio F-invariante di V se F(W) è contenuto strettamente in V (cioè è diverso da V).

Condizione necessaria e sufficiente affinché una matrice sia diagonalizzabile è che. abbia tutti autovalori distinti. abbia tutti autovalori reali e regolari. abbia tutti autovalori regolari. abbia tutti autovalori reali.

gli autovalori di una matrice diagonale. sono tutti gli elementi della diagonale della matrice. sono tutti nulli. sono tutti uguali. hanno molteplicità algebrica pari all'ordine della matrice.

Una matrice è diagonalizzabile se. tutte le precedenti. è simile ad una matrice triangolare superiore. è simile ad una matrice triangolare inferiore. è simile ad una matrice diagonale.

si dice che un autovalore è regolare se. la sua molteplicità algebrica è diversa dalla sua molteplicità geometrica. la sua molteplicità geometrica è 1. la sua molteplicità algebrica è 1. la sua molteplicità algebrica è uguale alla sua molteplicità geometrica.

La molteplicità algebrica di un autovalore. è minore della sua molteplicità geometrica. è uguale alla sua molteplicità geometrica. nessuna delle precedenti. è maggiore o uguale alla sua molteplicità geometrica.

Una matrice A. è simile a se stessa se si prende M=I (cioè la matrice identità). è simile a se stessa se si prende M=A^(-1) (cioè la sua inversa). è simile a se stessa se si prende M=A^(T) (cioè la sua trasposta). non può mai essere simile a se stessa.

Il polinomio caratteristico della matrice A. nessuna delle precedenti. è un polinomio dato dal rango della matrice (A-tI). è un polinomio di primo grado. è un polinomio dato dal determinante della matrice (A-tI).

il rango di matrici simili. è diverso. è uguale al determinante. è nullo. è uguale.

Condizione necessaria e sufficiente affinchè due matrici quadrate siano simili è che. rappresentino lo stesso isomorfismo tra spazi vettoriali diversi. rappresentino lo stesso endomorfismo in basi diverse. rappresentino due endomorfismi diversi. rappresentino applicazioni lineari iniettive sullo stesso spazio vettoriale.

La condizione che due matrici abbiano lo stesso determinate. è necessaria e sufficiente a dire che due matrici sono simili. è necessaria per dire che due matrici sono simili. non è richiesta affinchè si possa dire che due matrici sono simili. è sufficiente a dire che le matrici sono simili.

Due matrici A e B simili. non hanno lo stesso determinante. hanno lo stesso determinante. nessuna delle precedenti. hanno determinante una l'inverso dell'altra.

La relazione di similitudie tra due matrici è una relazione. di ordine forte. di ordine. di ordine debole. di equivalenza.

Date due matrici A e B. si dice che sono simili se esiste una matrice M invertibile tale che B=M^(-1)AM. si dice che sono simili se esiste una matrice M invertibile tale che B=MA^(-1)M. si dice che sono simili se esiste una matrice M invertibile tale che B=MAM. si dice che sono simili se esiste una matrice M invertibile tale che B=MAM^(-1).

due vettori u e v sono ortogonali se vale che. <u,v>>0. <u,v>=0. nessuna delle precedenti. <u,v><0.

Una matrice è ortogonale se. il prodotto per la sua trasposta, sia a destra che a sinistra, da la matrice identità. il prodotto per la sua simmetrica, sia a destra che a sinistra, da la matrice identità. il prodotto per la sua inversa, sia a destra che a sinistra, da la matrice identità. il prodotto per la sua trasposta, sia a destra che a sinistra, da una matrice triangolare superiore.

Un'isometria. è un'endomorfismo che mantiene inalterato il determinante della matrice associata. è un'endomorfismo che mantiene inalterata la distanza. non è un endomorfismo unitario. è un'endomorfismo che mantiene inalterato il rango della matrice associata.

La segnatura di un prodotto scalare è data dalla coppia. indice di positività-indice di nullità. indice di positività-indice di negatività. nessuna delle precedenti. indice di negatività-indice di nullità.

Una base ortonormale è. una base ortogonale tale che <bi,bi>=1. nessuna delle precedenti. uguale ad una base ortogonale. la base da scegliere se si vuole associare al prodotto scalare una matrice diagonale diversa dalla matrice identità.

Dato un sottoinsieme W di uno spazio vettoriale V, allora. il sottospazio ortogonale di W è l'insieme {v in V| <v,w>?0 per ogni w in W}. nessuna delle precedenti. il sottospazio ortogonale di W è l'insieme {v in V| <v,w>=0 per ogni w in W}. il sottospazio ortogonale di W non è sottospazio vettoriale di V.

Condizione necessaria e sufficiente affinchè esista una base ortonormale di uno spazio vettoriale. il prodotto scalare sia definito positivo. il prodotto scalare sia ovunque nullo. il prodotto scalare sia definito negativo. il prodotto scalare sia degenere.

si dice che un prodotto scalare è non degenere se, considerata la matrice A ad esso associata, risulta. det(A)=1. det(A)?0. det(A)=?. deta(A)=0.

Date due basi B e B' diverse di uno stesso spazio vettoriale,. allora la matrice associata al prodotto scalare non varia al variare della base scelta. nessuna delle precedenti. allora se chiamo A la matrice associata al prodotto scalare nella base B, e A' la matrice associata al prodotto scalare nella base B', vale che A'=M^(T) AM, dove M è la matrice del cambio di base da B a B. allora se chiamo A la matrice associata al prodotto scalare nella base B, e A' la matrice associata al prodotto scalare nella base B', vale che A'=M^(T) AM, dove M è la matrice del cambio di base da B' a B.

La matrice associata ad un prodotto scalare. è rettangolare. è simmetrica. è antisimmetrica. nessuna delle precedenti.

La norma di un vettore. è definita positiva. segue la disuguaglianza di Cauchy-Schwartz. è omogenea. Tutte le precedenti.

Se vale <v,v>?0 per ogni v in V. Allora il prodotto scalare è definito positivo. Allora il prodotto scalare è degenere. nessuna delle precedenti. Allora il prodotto scalare è non degenere.

Un prodotto scalaresi definisce non degenere se. <u,v> è diverso da 0 per ogni v in V. <u,v>=0 per ogni v in V. <u,v>=0 per ogni v in V se e solo se u=0. <u,v>=0 per ogni v in V se e solo se u=1.

Un prodotto scalare. è una forma bilineare. nessuna delle precedenti. non è una forma bilineare. è un'applicazione lineare.

le matrici A e A' associate ad uno stesso prodotto scalare in basi diverse. sono sempre simmetriche. sono sempre simili. sono sempre triangolari. nessuna delle precedenti.

{P(x,y,z) dello spazio|ax+by+cz=d}. è il luogo geometrico di un'ellisse. è il luogo geometrico di una circonferenza. è il luogo geometrico di una retta. è il luogo geometrico di un piano.

L'intercetta di una retta rappresenta. la tangente dell'angolo che forma la retta con il semiasse positivo delle ordinate. la tangente dell'angolo che forma la retta con il semiasse positivo delle ascisse. l'ascissa del punto di ntersezione tra la retta e l'asse delle ascisse. l'ordinata del punto di intersezione tra la retta e l'asse delle ordinate.

la corrispondenza tra i punti del piano e la coppia di coordinate (x,y) dei punti. nessuna delle precedenti. è biunivoca. è un'applicazione lineare iniettiva. è un'applicazione lineare suriettiva.

Ad un punto P su una retta. nessuna delle precedenti. viene fatto corrispondere un numero reale positivo se P appartiene alla semiretta che contiene OA. viene fatto corrispondere un numero reale positivo se P appartiene alla semiretta che non contiene OA. non si può corrispondere un numero reale.

Date due rette nello spazio, allora esse. possono essere incidenti, parallele o coincidenti se e solo se sono complanari. possono essere incidenti, parallele o coincidenti se e solo se sono sghembe. Sono sghembe se non sono parallele. sono sghembe se appartengono allo stesso piano.

Dati due piani, essi sono paralleli e distinti se. rank A=2 e rank A'=1, dove A è la matrice dei coefficienti e A' è la matrice completa del sistema delle equazioni dei due piani. mettendo a sistema le equazioni dei due piani, il sistema ammette isoluzioni. rank A=2, dove A è la matrice dei coefficienti del sistema delle equazioni dei due piani. rank A=1 e rank A'=2, dove A è la matrice dei coefficienti e A' è la matrice completa del sistema delle equazioni dei due piani.

dato un piano ax+by+cz=d. i numeri della terna (a,b,c) sono le coordinate di un vettore parallelo al piano stesso. i numeri della terna (a,b,c) sono chiamati segnatura del piano. i numeri della terna (a,b,c) sono chiamati parametri direttori del piano. esso passa per l'origine se e solo se d'0.

Dati due vettori u e v, allora. il prodotto vettore u?v è anticommutativo. il prodotto vettore u?v=0 se e solo se u e v sono linearmente indipendenti. il prodotto vettore u?v è parallelo a entrambi i vettori u e v. il prodotto vettore u?v è uno scalare.

Date due rette y=mx+q e y=m'x+q', allora. se m=m'=0 allora sono parallele. se m=m', allora sono perpendicolari. se mm'=-1 allora sono perpendicolari. se mm'=1 allora sono perpendicolari.

Due rette sono parallele se e solo se. si incontrano in un solo punto. hanno lo stesso coefficiente angolare. hanno coefficienti angolari diversi. hanno la stessa intercetta.

Data l'equazione di una retta nella forma y=mx+q. m è detto quota all'origine della retta. m è detto coefficiente angolare della retta. m è l'ordinata del punto di intersezione tra la retta e l'asse delle ordinate. q è detto coefficiente angolare della retta.

{P=(x,y) del piano| ax+by+c=0}. è il luogo geometrico di una circonferenza. è il luogo geometrico di un'iperbole. è il luogo geometrico di una parabola. è il luogo geometrico di una retta.

Dato un punto in un piano tale che le sue coordinate sono P=(x,y), allora. chiameremo x ascissa e y ordinata del punto. chiameremo x ordinata del punto. chiameremo y ascissa del punto. nessuna delle precedenti.

Un sistema di riferimento cartesiano ortogonale monometrico è composto. da due rette parallele. da due rette perpendicolari, su cui sono fissate unità di misura differenti e che si intersecano in un punto detto origine. da due rette perpendicolari, su cui è fissita una stessa unità di misura e che si intersecano in un punto detto origine. nessuna delle precedenti.

convenzionalmente, nella corrispondenza biunivoca tra i punti della retta e l'insieme dei numeri reali, si fa corrispondere. ai punti della semiretta che contiene il segmento OA i numeri reali negativi. al punto O lo 0 e al punto A,scelto tale che la lunghezza del segmento OA sia l'unità di misura, l'1. al punto O l'1 e al punto A,scelto tale che la lunghezza del segmento OA sia l'unità di misura, lo 0. ai punti della semiretta che non contiene il segmento OA i numeri reali positivi.

Gli invarianti di una conica. nessuna delle precedenti. sono sempre nulli. non variano al variare del sistema di riferimento scelto. variano al variare del sistema di riferimento scelto.

il centro di simmetria di una conica. è un punto esterno alla conica. è un punto C tale che se P appartiene alla conica e C è il punto medio del segmento PP', allora P' non appartiene alla conica. è un punto C tale che se P appartiene alla conica e C è il punto medio del segmento PP', allora anche P' appartiene alla conica. è un qualsiasi punto della conica.

In una conica a centro. gli assi di simmetria sono le retta parallele agli autospazi di A generati dai suoi autovalori e passanti per un punto qualsiasi della conica. gli assi di simmetria sono gli assi cartesiani di un qualsiasi sistema di riferimento. gli assi di simmetria sono le retta parallele agli autospazi di A generati dai suoi autovalori e passanti per il centro di simmetria della conica. nessuna delle precedenti.

una conica si chiama conica a centro. se I3?0. se I2=0. se I2?0. se I3=0.

la matrice della parte principale di una conica e la matrice completa della conica. sono matrici simili. sono matrici simmetriche. sono matrici triangolari superiori. sono matrici triangolari inferiori.

Una quadrica. è il luogo degli zeri di un'eqauzione di secondo grado in due variabili. è il luogo degli zeri di un'equazione di secondo grado in tre variabili. è il luogo degli zeri di un'equazione di primo grado in tre variabili. è il luogo degli zeri di un'equazione di primo grado in due variabili.

Data una conica. se il suo invariante di secondo ordine I2=0 allora è sicuramente un'ellisse. nessuna delle precedenti. non la posso classificare in una tipologia calcolando il segno dei suoi invarianti. la posso classificare in una tipologia calcolando il segno dei suoi invarianti.

Esempio di conica non degenere è. l'iperbole. l'ellisse. la parabola. tutte le precedenti risposte.

Una conica tale che ha I3 (invariante di terzo ordine) nullo. è una conica non degenere. è una conica degenere. nessuna delle precedenti. non è una conica.

Nel sistema di riferimento tale che l'asse delle ascisse è la retta passante per i due fuochi, l'asse delle ordinate è la retta passante per il punto medio del segmento che congiunge i due fuochi, avrermo che. F1=(0.-c) e F2=(0,c) con c>0 sono le coordinate dei fuochi di una ellisse. F1=(c,0) e F2=(0,c) con c>0 sono le coordinate dei fuoch di una ellissei. F1=(c.0) e F2=(0,-c) con c>0 sono le coordinate dei fuochi di una ellisse. F1=(c,0) e F2=(-c,0) con c>0 sono le coordinate dei fuochi di una ellisse.

Una parabola è. il luogio dei punti P del piano tali che sono equidistanti da un punto C detto centro. il luogo dei punti P del piano tali che la differenza in modulo delle distanze di P da due punti detti fuochi è costante. il luogo dei punti del piano che sono equidistanti da un punot detto fuoco e una retta detta direttrice. il luogo dei punti P del piano tali che la somma delle distanze di P da due punti detti fuochi è costante.

un'iperbole è. il luogo dei punti del piano che sono equidistanti da un punto detto fuoco e una retta detta direttrice. il luogo dei punti P del piano tali che la somma delle distanze di P da due punti detti fuochi è costante. il luogo dei punti P del piano tali che sono equidistanti da un punto C detto centro. il luogo dei punti P del piano tali che la differenza in modulo delle distanze di P da due punti detti fuochi è costante.

Un'ellissi è. il luogo dei punti P del piano tali che la somma delle distanze di P da due punti detti fuochi è costante. il luogo dei punti del piano che sono equidistanti da un punto detto fuoco e una retta detta direttrice. il luogo dei punti P del piano tali che la differenza in modulo delle distanze di P da due punti detti fuochi è costante. il luogo dei punti P del piano tali che sono equidistanti da un punto C detto centro.

Una conica. è data dall'intersezione di un piano ed un cilindro. può essere un cubo. è una particolare curva piana. è data dall'intersezione di un piano ed una sfera.

x^2=2py è l'eqauzione canonica di. Una parabola. Un'ellisse. Un'iperbole. Una circonferenza.

Data una curva X:I->R^3, con I intervallo, un arco di X. è la restrizione ad un intervallo apert contenuto in I di X. è la restrizione ad un intervallo chiuso contenuto in I di X. è il sostegno della curva X. è la restrizione a tutta la retta dei reali della curva X.

il versore binormale è definito come. N(s)?B(s). N(s)?T(s). B(s)?T(s). T(s)?N(s).

i versori (T,N,B). formano una terna ortonormale orientata positivamente e chiamata sistema di riferimento di Frenet. nessuna delle precedenti. hanno norma pari a 2. formano una terna di vettori linearmenti indipendenti.

sia T(t) il versore tangente alla curva, allora. nessuna delle precedenti. le coordinate di T(t) non individuano alcun piano. le coordinate di T(t) individuano i parametri direttore del piano parallelo al piano che contiene lalla curva. le coordinate di T(t) individuano i parametri direttore del piano normale alla curva.

Il sostegno di una curva. è l'immagine della curva. nessuna delle precedenti. il nucleo della curva. la torsione della curva.

Date due curve parametriche regolari X(t):I->R^3 e Y(t):J->R^3. esse sono equivalenti se esiste un cambiamente regolare di parametro t':I->J tale che X(t)?Y(t'(t)) per ogni t in I. non è possibile definire una relazione di equivalenza tra le due curve. esse sono equivalenti se e solo se hanno lo stesso sostegno. esse sono equivalenti se esiste un cambiamente regolare di parametro t':I->J tale che X(t)=Y(t'(t)) per ogni t in I.

Una curva che ha come sostegno una retta. non è una curva. è una curva parametrica regolare. non è una curva parametrica regolare. nessuna delle precedenti.

Una curva parametrica regolare è un'applicazione. continua. di classe C1. continua e derivabile nell'intervallo di definizione. di classe C1 nell'intervalli di definizione con derivata non nulla in ogni punto dell'intervallo.

Una curva. E' una funzione vettoriale continua del tipo f:I->X, dove I è un intervallo e X è un insieme qualsiasi. E' una funzione vettoriale continua del tipo f:I->X, dove I è un intervallo e X è uno spazio vettoriale. E' una funzione vettoriale continua del tipo f:I->X, dove I è un intervallo e X è un anello. E' una funzione vettoriale continua del tipo f:I->X, dove I è un intervallo e X è uno spazio topologico qualsiasi.

se k(s)?0. allora la curva X non può essere regolare. posso definire il raggio di curvatura di X come R=1/k. allora k(s) non è la funzione curvatura di alcuna curva. nessuna delle precedenti.