Il simbolo A ⊆ B indica che A è sottoinsieme di B B è un sottoinsieme di A A e B sono due insiemi congruenti A è un elemento di B.
L'espressione D 10,3 si sviluppa come somma di tre fattori decrescenti partendo dal 10 prodotto di 3 fattori decrescenti partendo dal 10 prodotto di 3 fattori crescenti partendo dal 10 prodotto di 10 fattori decrescenti partendo dal 10.
La classe di equivalenza di un sistema lineare S è: nessuna delle precedenti l'insieme di alcuni sistemi lineari equivalenti ad S l'insieme di tutti i sistemi lineari equivalenti ad S Un sistema lineae noni equivalenti ad S.
Due sistemi lineari di m equazioni in n incognite si dicono equivalenti in quale caso? se non hanno soluzioni se non hanno le stesse soluzioni se hanno le stesse soluzioni se le soluzioni sono il reciproco dell'altro.
Quale tra i seguenti raggruppamenti di oggetti? I punti di un segmento I migliori vini d'Italia I professori più bravi della tua scuola Le città più importanti d'Italia.
Nelle combinazioni semplici, se k=n i gruppi che si potranno formare saranno uguali a : k n 0 1.
Sia A ={1, 2, 3, 4}, definire su A un esempio di relazione di equivalenza, e calcolare le sue classi di equivalenza R = { (1, 2), (3, 4), (1, 4)}, le cui classi di equivalenza sono i singoletti{2},{2} R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3)},le cui classi di equivalenza sono i singoletti{1},{1},{3},{3} R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}, le cui classi di equivalenza sono i singoletti{1},{2},{3},{4} R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3)}, le cui classi di equivalenza sono i singoletti{1},{1},{3},{3}.
Il simbolo a ∈ A indica che a è un sottoinsieme di A a è un elemento di A è una scrittura errata a è un insieme minore di A.
Quanti sono i possibili anagrammi (anche senza senso) della parola COMPUTER? P6=6!=240 P8=8!=40320 D?8,8=8elevato8 P4=4!=24.
Moltiplicando una matrice n per m per la sua trasposta si ottiene: una matrice quadrata di termini non negativi. una matrice m x n. una matrice quadrata di ordine n. una matrice quadrata di ordine m.
Definizione di matrice quadrata triangolare inferiore: se Qualunque i = k si ha a ik = 0 cioè se tutti gli elementi della diagonale principale sono nulli. se Qualunque i <k si ha a ik = 0 cioè se tutti gli elementi al di sopra della diagonale principale sono nulli. se Qualunque i > k si ha a ik = 0 cioè se tutti gli elementi al di sopra della diagonale principale sono nulli se Qualunque i = k si ha a ik = 0 cioè se tutti gli elementi al di sopra della diagonale principale sono non nulli.
Una matrice quadrata A di ordine n è detta nilpotente di ordine k se la potenza A elevato a k è una matrice nulla (O). la potenza A elevato a k è una matrice identità (I). la potenza A elevato a k è una matrice non nulla. la potenza A elevato a k è una matrice quadrata.
Quali delle seguenti operazioni fanno parte del Teorema di Gauss: un'equazione è sostituita dalla somma di se stessa con un multiplo di un'altra. moltiplicazione di ambo i membri di un'equazione per una costante nulla. un'equazione è sostituita dalla differenza tra dei termini noto. un'equazione è sostituita dalla divisione di se stessa con un multiplo di un'altra.
L'inversa di una matrice diagonale, quando esiste è una matrice Diagonale. Triangolare superiore. Diagonale inferiore. Triangolare.
Siano A(2, 3), B(3, 4) C(4, 1), esiste la matrice D = A B C? se si di che tipo è? Si, di tipo(4,1) Si, di tipo(2,1) No Si, di tipo(1,2).
Due matrici A e B sono uguali se e solo se: non sono dello stesso tipo e se a ik= b ik qualunque i, k. sono dello stesso tipo e se a ik= b ik qualunque i, k. sono dello stesso tipo e se a ik diverso da b ik qualunque i, k. non sono dello stesso tipo e se a ik diverso da b ik qualunque i, k.
Una matrice quadrata A di ordine n è detta idempotente di ordine k se la potenza A elevato a k è uguale alla matrice identità(I). la potenza A elevato a k è uguale a A. la potenza A elevato a k è uguale ad una matrice quadrata. la potenza A elevato a k è uguale alla matrice nulla(O).
Siano A(2, 3) B(3, 3) e C(3, 2). La matrice ABC è quadrata? se sì di che ordine? Si di ordine 2 Si di ordine 1 Si di ordine 3 No.
Dati i seguenti 4 vettori di R3: ~ e1 = [1, 0, 0], ~ e2 = [0, 1, 0], ~ u = [3, 4, 2] e ~ v = [2, 5, 0], quale bisogna eliminare tra ~ u e ~ v in modo che i rimanenti 3 formino una base. (questo simbolo ~ rappresenta la freccia del vettore) ~ v = 2 ~ e1 + 5 ~ e2 . . . ~ v = 1 ~ e1 + 4 ~ e2 . . . ~ v = 4 ~ e1 + 1 ~ e2 . . . ~ v = 6 ~ e2 + 5 ~ e1 . . .
Dati ~ v = [1 0 -1] ~ w = [1 0 2] ~ u =[ 0 2 1] ~ z =[ 0 0 3] dire se ~ v, ~ w e ~ z sono linearmente dipendenti o indipendenti. (questo simbolo ~ rappresenta la freccia del vettore) ~ u, ~ w e ~ z sono linearmente dipendenti ~ v, ~ w e ~ z sono linearmente indipendenti ~ v, ~ u e ~ z sono linearmente dipendenti ~ v, ~ w e ~ z sono linearmente dipendenti.
In R3 sono dati i seguenti insiemi di vettori: i) S1 = [1, 1, 1], [0, 1, 1], [1, 0, 0];ii) S2 = [2, 1, 0], [0, 1, 0],[1, 0, 1];iii) S3 = [1, 1, 2],[-1, 0,-1], [0, 1, 0], [0, 0, 1]. Stabilire, per ciascuno di essi, se costituiscono un sistema di generatori e, in particolare, se sono delle basi per R3. (Gli insiemi come S1 è omessa la parentesi graffa di apertura e chiusura per problemi di quiz, ovviamente e come se ci fosse.) S1 ed S2 sono delle basi, S3 è un sistema di generatori. S2 ed S3 sono delle basi, S1 è un sistema di generatori. S1 ed S3 sono delle basi, S2 è un sistema di generatori. S1 è una base, S2 è un sistema di generatori.
Trovare le componenti del vettore ~ v = 2 ~ e1 +~ e2 + 7 ~ e3 rispetto alla base B1 = ~ e1 ,~ e1 + ~ e2 ,~ e1 +~ e3 (questo simbolo ~ rappresenta la freccia del vettore) [-1, 5, 3] [-2, 4, 7] [-6, 1, 7] [5, -1, 7].
Per quali valori del parametro t l'insieme B = [2, t], [t, 2] è una base di R 2? t=2. t diversa da zero. Qalunque t diverso da + - 2. t=-2.
Trovare una base ~ e1 , ~ e2 di R2 tale che [1, 0]= ~ e1 + ~ e2 [ 0, 1] = ~ e1 ~ e2 . (questo simbolo ~ rappresenta la freccia del vettore) ~e1 =[1/4 , 1/4], ~e2 =[1/4 , -1/4]. ~e1 =[1/2 , 1/2], ~e2 =[1/2 , -1/2]. e1 =[1/3 , 1/3], ~e2 =[1/3 , -1/3]. ~e1 =[1/5 , 1/5], ~e2 =[1/5 , -1/5].
Nello spazio vettoriale R3 si consideri la base canonica B = ~ e1 = [1, 0, 0], ~ e2 = [0, 1, 0], ~ e3 = [0, 0, 1] ed il seguente sottospazio W1 generato da ~ e1 + 2 ~ e3 , ~ e3 ,~ e1 +~ e3 (questo simbolo ~ rappresenta la freccia del vettore) W1=<[1, 0, 2], [0, 0, 1], [1, 0, 1] > quindi dimW1= 2 W1=<[0, 1, 2], [0, 1, 1], [0, 0, 1] > quindi dimW1= 2. W1=<[2, 0, 2], [2, 0, 1], [0, 0, 1] > quindi dimW1= 1. W1=<[0, 0, 3], [3, 0, 1], [1, 2, 1] > quindi dimW1= 4.
Nello spazio vettoriale R3 si consideri la base canonica B = ~ e1 = [1, 0, 0], ~ e2 = [0, 1, 0], ~ e3 = [0, 0, 1] ed il seguente sottospazio W2 generato da ~ e1 ,~ e1 -~ e2 ,~ e1 +~ e3 W2=<[1, 0, 0][1,-1, 0], [1, 0, 1] > quindi dimW2= 3. W2= W2=<[1, 0, 1][-1,-1, 0], [0, 0, 1] > quindi dimW2= 1. W2=<[1, 1, 0][1,1, 0], [1, 1, 1] > quindi dimW2= 2.
Delle seguenti terne di vettori di R3, dire quali sono linearmente dipendenti e quali linearmente indipendenti. i) ~ v1 = [2, 1, 0], ~ v2 = [0,-1, 1] e ~ v3 = [1, 1, 0]; ii) ~ v 1 = [1, 1, 1], ~ v 2 =[-2,-2,-2] e ~ v 3 = [0, 1, 1]; iii) ~ v 1 = [0, 1, 0], ~ v 2 = [1,-1, 2] e ~ v 3 = [2, 1, 3] nessuno delle tre. Gli unici linearmente dipendenti sono quelli della terna iii. Gli unici linearmente dipendenti sono quelli della terna i. Gli unici linearmente dipendenti sono quelli della terna ii.
Se in una matrice quadrata agli elementi di una colonna si sommano i corrispondenti elementi di un'altra colonna moltiplicati per uno stesso numero, il determinante raddoppia rimane inalterato cambia segno dimezza.
Una matrice A è invertibile se e solo se A=I A=0 det(A) diversa da zero det(A) uguale zero.
Se A è invertibile, allora AB = AC implica B = A A = C B = C B = I.
Se A è invertibile, allora BA = CA implica A = C A = I B = C B = A.
Se in una matrice quadrata si scambiano tra loro due righe, il determinante della matrice: rimane inalterato raddoppia si dimezza cambia segno.
Se A è una matrice quadrata con det (A) diverso da 0 si ha: det(A) det (A elevato a -1) = 1 det (A elevato a -1) = det(A) det (A elevato a -1) = 0 det (A elevato a -1) = (det(A)) elevato al quadrato.
Il Det(nA)= 2n det(A) Non si può dire nulla (n*n) det(A) n det(A).
Sia A = A elevato a -1 Che valori può assumere il determinante di A? det (A) = +-1 det (A) = +3 det(A) = 0 det (A) = +-2.
È sempre vero che det(AB) = det(BA)? Sì se A e B sono quadrate dello stesso ordine Sì se A e B sono quadrate ma non dello stesso ordine NO se A e B sono quadrate dello stesso ordine Sì se A e B non sono quadrate dello stesso ordine.
Un sistema omogeneo: è sempre possibile ed ammette sempre come soluzione banale il vettore nullo nessuna soluzioni nessuna delle precedenti infinite soluzioni.
Il Teorema Rouché-Capelli afferma: sia Ax=b un sistema lineare di m equazioni in n incognite; esso ammette soluzioni se e solo se r(A) = r(A|b)=0 r(A) = r(A|b) r(A) > r(A|b) r(A) <r(A|b).
Due vettori sono ortogonali se e solo se il: il loro prodotto scalare è non nullo. nessuna delle precenti. il loro prodotto scalare è nullo. il loro prodotto scalare è negativo.
Quale dell seguenti proprietà delle forme bilineari è corretta: g(v 1 + v 2 , w) = g(v 1 , w) + g(v 2 , w) tutte le precedenti g(v, w 1 + w 2 ) = g(v, w 1 ) + g(v, w 2 ) g(av, w) = g(v, aw) = ag(v, w).
Un sistema si dice impossibile quando: è molto difficile da risolvere. non ha soluzione. ha più di due incognite. ha infinite soluzioni.
Affermare che due sistemi sono equivalenti significa che: sono entrambi dello stesso tipo. si possono risolvere nello stesso modo. hanno le stesse soluzioni. hanno gli stessi coefficienti.
Un sistema lineare si dice determinato: quando ha una sola soluzione. quando ha una coppia di soluzioni. quando ha almeno una soluzione. in nessuno dei casi precedenti.
La regola di Cramer è valida per la risoluzione di: qualunque sistema lineare. qualunque sistema determinato. qualunque sistema qualunque sistema di n equazioni in n incognite determinato.
Un sistema omogeneo ammette sempre: nessuna soluzione almeno una soluzione Due soluzioni infinite soluzioni.
Una matrice U è ortogonale se e solo se le sue colonne formano un sistema lineare di autovalori. nessuna delle precedenti un sistema ortonormale di vettori. un sistema ortonormale di autovettori.
Una matrice quadrata A di ordine n è diagonalizzabile se e solo se nessuna delle precedenti ammette n autovalori dipendenti non ammette n autovettori indipendenti. ammette n autovettori indipendenti.
Due matrici simili A e B hanno lo stesso polinomio caratteristico. Quale affermazione è corretta? nessuna delle precenti. Le matrici sono identiche Le matrici non sono invertibili. Le matrici sono invertibili.
Sia A quadrata di ordine n 3 e rango 1, allora A ha tutti gli autovalori distinti ha solo l'autovalore nullo ha n autovalori uguali a 1 nessuna delle precedenti.
Siano A e B due matrici quadrate reali di ordine n. Allora è vero che: Valgono le due proprietà precedenti A e B hanno gli stessi autovettori Non vale nessuna delle proprietà precedenti. A e B hanno gli stessi autovalori.
Una matrice A appartenente a Mn(R) e' sicuramente diagonalizzabile per similitudine se la somma delle molteplicità algebriche dei suoi autovalori è n. è simmetrica nessuna delle precedenti il suo polinomio caratteristico è privo di radici complesse a parte immaginaria non nulla.
Sia A l'insieme delle matrici associate a forme quadratiche su R3 Alcune matrici di A ammettono coppie, ma non terne, di autovettori linearmente indipendenti. Nessuno dei casi precedenti. Tutte le matrici di A ammettono almeno un autovettore, ma alcune non ammettono coppie di autovettori linearmente indipendenti. Tutte le matrici di A ammettono terne di autovettori linearmente indipendenti.
Siano A e B due matrici quadrate tra loro simili. Quale affermazione è falsa? Le matrici A e B hanno lo stesso polinomi caratteristico Le matrici A e B sono diagonalizzabili Se A è diagonalizzabile allora B è diagonalizzabile tutte le precedenti.
Sia A una matrice simmetrica reale. Qual è quella corretta? Due autovettori distinti di A sono sempre ortogonali Due autospazi di A sono sempre ortogonali Due autovalori di A sono sempre positivi Nessuna delle precedenti.
Una forma quadratica è definita negativa se e solo se tutti gli autovalori di A sono positivi uguali a zero nessuna delle precedenti negativi.
Si chiama forma canonica ogni forma quadratica la cui matrice associata è diagonale nessuna delle precedenti di rango=1 unitaria.
Si chiama rango della forma quadratica il rango della matrice identica ad essa associata nessuna delle precenti nulla.
Un polinomio omogeneo di grado m si chiama forma quadratica se: il polinomio è di terzo grado nessuna delle precedenti il polinomio è di primo grado il polinomio è di secondo grado.
Una matrice A è diagonalizzabile se e solo se il suo polinomio minimo ammette solo radici semplici. una radice invertibile solo radici multiple nessuna delle precedenti.
Due matrici simili hanno: nessuna delle precedenti lo stesso polinomio minimo non hanno lo stesso polinomio caratteristico differente polinomio minimo.
Teorema di Cayley-Hamilton è: Nessuno dei casi precedenti. non invertibile invertibile indipendente.
Una matrice è unitariamente simile ad una matrice diagonale se e solo se è hermitiana tutte le precedenti è normale è di Lagrange.
Ogni forma quadratica a coefficienti complessi (reali) di rango r > 0 si può ridurre, mediante una trasformazione lineare invertibile a Nessuna delle precedenti coefficienti complessi (reali) alla forma canonica autovettori in forma complessa autovalori in forma canonica.
Due rette sono parallele se e solo se hanno diverso coefficiente angolare coefficiente angolare nullo nessuna delle precedenti lo stesso coefficiente angolare.
Il fascio di rette di centro P (x0; y0) ha equazione y = 2x+1 y - y0 = m (x - x0) nessuna delle precedenti y - y0 = x - x0.
Quale dei seguenti punti soddisfa la relazione 2x+3y=5 nessuna delle precenti (1,1) (0,0) (0,1).
In un piano cartesiano, un punto corrisponde a la somma di due numeri reali nessuna delle precedenti una coppia di numeri un numero.
La distanza di un punto dall'asse y è: Non vale nessuna delle proprietà precedenti zero l'ascissa del punto l'ordinata del punto.
Le rette di equazione x = 3 e y = -2 sono fra loro parallele nessuna delle precedenti diagonali perpendicolari.
Che cos'è un fascio di rette? L'insieme di tutte le rette del piano tangenti ad un punto P nessuna delle precedenti L'insieme di tutte le rette del piano che passano per un punto P La retta del piano che passa per due punti.
Cosa rappresenta il coefficiente angolare? rappresenta la tangente goniometrica dell'angolo che la retta forma con l'asse y rappresenta la secante goniometrica dell'angolo che la retta forma con l'asse x Nessuna delle precedenti rappresenta la tangente goniometrica dell'angolo che la retta forma con l'asse x.
Se k = 0, la retta di equazione kx+y+1=0 è: parallela all'asse y appartenente ad un fascio di rette Nessuno dei casi precedenti parallela all'asse x.
Una retta ed una circonferenza hanno in comune due punti: se sono immaginarie la retta è esterna è secante è tangente.
In una circonferenza, se si uniscono gli estremi di una corda con il centro si ottiene generalmente un triangolo nessuna delle precedenti isoscele equilatero rettangolo.
Quale delle seguenti rette incontra la circonferenza in un solo punto? tangente secante esterna nessuna delle precedenti.
Tutte le circonferenze di un fascio concentriche, sono tangenti alla retta impropria nei punti esterni punti ciclici nessuna delle precedenti punti base.
Una retta ed una circonferenza hanno in comune due punti: se sono reali e coincidenti la retta è secante è tangente nessuna delle precedenti. è esterna.
Una retta ed una circonferenza hanno in comune due punti: se i due punti sono reali e distinti la retta nessuna delle precedenti è secante è tangente è esterna.
I punti ciclici del piano soddisfano l'equazione di una retta tangente alla circonferenza nessuno dei casi precedenti retta secante alla circonferenza qualsiasi circonferenza.
Per descrivere un fascio di circonferenze è necessario avere nessuna delle precedenti avere un punto (base) avere tre punti (base) avere due punti (base).
Dato P un punto e una circonferenza. Se P è esterno alla circonferenza da P esce un solo punto tangente alla circonferenza escono tre punti tangente alla circonferenza nessuna delle precedenti escono due e due sole tangenti alla circonferenza.
Data l'ellisse di equazione (X^2/a^2 + 4y^2/a^2 = 1) uquale risposta è corretta? Se a = 1 , la curva passa per (1; ?1/2) I fuochi si trovano sull'asse x nessuna delle precedenti Un vertice ha coordinate (1a/2;0).
La parabola y=ax^2 - 2x + 1 ha il vertice sulla retta y=x se: a=2 a=1 a=5 nessuna delle precedenti.
Per quali valori del parametro k appartenente a R l'equazione x^2 + (k-2)y^2 = 2 rappresenta un'ellisse con i fuochi sull'asse y? K > 2 2 <k <3 nessuna delle precedenti k > 3.
Considera l'ellisse di equazione 2x^2 + y^2 - 8x + 6y + 13=0 Quale fra le seguenti proposizioni è vera? L'eccentricità è 1/radice di 2 nessuna delle precenti L'eccentricità è 1/2 Le coordinate del centro sono (4; -3).
Dati due punti F1 e F2 del piano, si chiama ellisse di fuochi F1 e F2 l'insieme dei punti P del piano tali che nessuna delle precedenti sia costante la differenza delle distanze di P da F1 e F2 sia costante la somma delle distanze di P da F1 e F2 sia costante il prodotto delle distanze di P da F1 e F2.
L'eccentricità di un ellisse è: un numero uguale a 1 Nessuna delle precedenti un numero maggiore di 1 un numero minore di 1.
L'eccentricità di una parabola è: Nessuna delle precedenti un numero uguale a 1 un numero maggiore di 1 un numero minore di 1.
L'eccentricità di un'iperbole è: un numero maggiore di 1 un numero minore di 1 un numero uguale a 1 Nessuna delle precedenti.
Una parabola e una circonferenza possono avere in comune al massimo: nessuna delle precedenti Due punti Un arco Quattro punti.
Se una retta r descive un fascio che ha per sostegno il punto P allora il suo polo descrive due tangenti alla conica, reali o meno due iperbole alla conica, reali una tangente alla conica, reale nessuna delle precedenti.
I punti uniti della proiettività di equazione di secondo grado può avere: due punti uniti uguali; un punto unico; Nessuna delle precedenti due punti separati distinti; un punto unito triplo; tre punti uniti due punti uniti distinti; un punto unito doppio; nessun punto unito.
Se in una proiettività pigreco tra forme di prima specie sovrapposte si ha una coppia di punti A e B tale che pigreco(A) = B =>pigreco(B) = A si dice che la coppia è è involutoria o che i punti si corrispondono in doppio modo non è involutoria o che i punti si corrispondono in doppio modo i punti si corrispondono in triplo modo nessuna delle precedenti.
le involuzioni si possono classificare in base ai loro punti uniti: precisamente un'involuzione è rettangoloide Nessuno dei casi precedenti parabolica iperbolica; ellittica.
se P appartiene alla conica (e soltanto in questo caso) la sua polare rispetto alla conica è nessuna delle precedenti il settore circolare in P alla conica la tangente in P alla conica una retta secante in P alla conica.
Per un punto P non appartenente ad una conica passano esattamente nessuna delle precedenti due tangenti alla conica, reali o meno due iperbole alla conica, reali una tangente alla conica, reale.
Si chiama autopolare per una conica irriducibile un triangolo tale che un solo vertice sia il polo del lato opposto. ogni vertice sia il polo del lato opposto. ogni vertice sia il polo del lato contiguo. nessuna delle precenti.
Per una parabola P tutti i diametri sono paralleli e passano per il punto tangente di P, il punto improprio di P nessuna delle precedenti i punti propri di P,.
Se una conica a centro possiede un asse, ne possiede nessuna delle precedenti almeno un altro tre almeno due.
In un sistema di coordinate omogenee nello spazio, se la quarta coordinata omogenea sarà nulla, allora si avrà a che fare con punti dello spazio chiamati: impropri o all'infinito nessuna delle precedenti propri derivati.
Non è possibile descrivere una retta nello spazio mediante: una sola equazione cartesiana nessuna delle precedenti due sole equazioni cartesiana tre sole equazione cartesiana.
Due rette si dicono parallele se tre sono ortogonali non hanno la stessa direzione hanno la stessa direzione.
Nello spazio, dati il punto P e la retta r che non si appartengono, quante sono le rette che passano per P e sono parallele ad r? nessuna delle precenti infinite due una ed una sola.
Siano dati due piani, saranno non paralleli se i vettori v1 e v2 sono: sono linearmente dipendenti nessuno dei casi precedenti sono ortogonali fra loro sono linearmente indipendenti.
Due rette che non hanno punti in comune e non sono parallele, cioè due rette non complanari, si dicono nessuna delle precedenti sghembe incidenti parallele.
Teoema: nello spazio tutte e sole le equazioni della forma ax+by+cz+d=0 rappresentano un piano in cui a, b e c sono numeri non tutti e tre nulli numeri immaginari numeri tutti e tre nulli nessuna delle precedenti.
Nello spazio un punto è quindi individuato da nessuna delle precedenti una terna ordinata di numeri reali due coppie ordinata di numeri reali una terna ordinata di numeri immaginari.
l'equazione del fascio di piani che ha per sostegno la retta r si ottiene come combinazione lineare delle equazioni di tre piani qualsiasi passanti per r di due piani qualsiasi passanti per r nessuna delle precedenti di due piani qualsiasi non passanti per r.
Una retta ed una superficie algebrica di ordine n hanno almeno n+1 punti in comune non hanno punti in comune hanno al più n punti in comune nessuna delle precedenti.
Nello spazio tutte e sole le equazioni della forma ax + by + cz + d = 0 rappresentano un piano in cui a, b e c sono numeri tutti e tre nulli sono ortogonali non tutti e tre nulli sempre positivi.
Due rette nello spazio sono dette sghembe se e solo se: nessuna delle precenti non appartengono allo stesso piano non appartengono allo stesso piano e non si incontrano mai appartengono a uno stesso piano e non si incontrano mai.
Per quanto riguarda le rotazioni vale un teorema secondo cui la matrice di una rotazione è: una matrice ortogonale una matrice diagonale una matrice identica nessuna delle precedenti.
Se tutti i punti di una curva appartengono ad un medesimo piano la curva si dice: gobba piana nessuna delle precedenti sghemba.
Un punto P di un a superficie algebrica si dice multiplo per la superficie stessa se: ogni retta passante per P è parallela alla superficie algebrica ogni retta passante per P è secante alla superficie algebrica ogni retta passante per P è tangente alla superficie algebrica nessuna delle precedenti.
In un sistema di riferimento cartesiano le equazioni parametriche di un piano: possono anche non essere lineari sono sempre lineari sono sempre algebiche nessuno dei casi precedenti.
Si chiama superficie nello spazi il luogo dei punti dello spazio che soddisfano un'equazione solo cartesiana il luogo dei punti dello spazio che soddisfano un'equazione solo parametrica nessuna delle precedenti il luogo dei punti dello spazio che soddisfano un'equazione cartesiana o parametrica.
La composizione di una rotazione e di una traslazione RISPOSTA 4 è commutativa RISPOSTA 3 non è commutativa.
Si dice rigata una superficie S tale che per ogni suo punto passi almeno una retta reale tutta contenuta nella stessa superficie almeno una retta reale tangente alla stessa superficie almeno due rette reali tutte contenute nella stessa superficie nessuna delle precedenti.
Il piano che fa parte di un fasco di sfere si chiama piano radicale del fascio nessuna delle precednti sostegno del fascio tangente del fascio.
Si definisce un fascio di sfere nessuna delle precenti l'insieme F di tutte e sole le sfere che passano per una data circonferenza e dal piano che la contiene l'insieme F di tutte e sole le sfere che sono tangenti ad una data circonferenza una sfera che passa per una data circonferenza e dal piano che la contiene.
Si chiama di rotazione o rotonda una superficie S ottenuta facendo ruotare nessuna delle precedenti una linea L attorno ad una retta r una linea L attorno ad una circonferenza una cinrconferenza attorno ad una retta r.
L'intersezione di una sfera con un piano rappresenta una circonferenza, reale se la sua distanza dal centro è maggiore del raggio R se la sua distanza dal centro è uguale al raggio R nessuno dei casi precedenti se la sua distanza dal centro è minore del raggio R.
L'intersezione di una sfera con un piano rappresenta una circonferenza, immaginaria se nessuna delle precedenti se la sua distanza dal centro è maggiore del raggio R se la sua distanza dal centro è minore del raggio R se la sua distanza dal centro è uguale al raggio R.
L'intersezione di una sfera con un piano rappresenta una circonferenza, ridotta ad un solo punto se se la sua distanza dal centro è uguale al raggio R se la sua distanza dal centro è maggiore del raggio R nessuna delle precedenti se la sua distanza dal centro è minore del raggio R.
L'equazione del piano tangente in O ad una sfera passante per O si ottiene sempre impostando ad un numero >di zero il complesso dei termini lineari dell'equazione della superficie sempre eguagliando a uno il complesso dei termini lineari dell'equazione della superficie nessuna delle precedenti sempre eguagliando a zero il complesso dei termini lineari dell'equazione della superficie.
Si chiama sfera il luogo dei punti dello spazio equidistanti da due punti fissati distanti da un certo punto fissato nessuna delle precedenti equidistanti da un punto fissato.
Una curva algebrica L , si chiama cono di vertice V e direttice L l'insieme di tutte e sole le rette tangenti per V e secanti la L Nessuna delle precedenti l'insieme di tutte e sole le rette secanti per V e passanti per L l'insieme di tutte e sole le rette passanti per V e secanti la L.
Le equazioni omogenee intere nelle incognite x, y, z rappresentano tutti e soli nessuna delle precedenti i coni con il vertice nell'origine il cono con il vertice nell'origine i cilindri.
si chiama cilindro di direttrice g e generatrice r la superficie (rigata) formata da: tutte e sole le rette secanti ad r che intersecano la g Nessuno dei casi precedenti tutte e sole le rette perpendicolari ad r che intersecano la g tutte e sole le rette parallele ad r che intersecano la g.
Nello spazio, riferito ad un sistema di coordinate cartesiane ortogonali, si chiama superficie quadrica ogni superficie rappresentata da
un'equazione polinomiale di secondo grado nelle variabili x e y nessuna delle precedenti primo grado nelle variabili x, y e z secondo grado nelle variabili x, y e z.
L'equazione di una qualunque quadrica si può ricondurre, con una opportuna rototraslazione del sistema di riferimento, ad una ed una sola delle forme canoniche elencate che riguarda le quadriche specializzate ellissoide reale ellissoide completamente immaginario paraboloide ellittico cilindro quadrico a sezione ellittica.
Un punto P di una quadrica S si dice parabolico a seconda che il piano tangente in P tagli la quadrica rispettivamente in: due rette coincidenti due rette distinte due rette immaginarie nessuna delle precedenti.
Un punto P di una quadrica S si dice ellittico a seconda che il piano tangente in P tagli la quadrica rispettivamente in: nessuna delle precenti due rette coincidenti due rette distinte due rette immaginarie.
Un punto P di una quadrica S si dice iperbolico a seconda che il piano tangente in P tagli la quadrica rispettivamente in: due rette coincidenti due rette immaginarie due rette distinte nessuna delle precedenti.
La conica all'infinito è reale e non degenere: nessuna delle precedenti per il cilindro quadrico a sezione parabolica per gli iperboloidi ed il cono quadrico reale per gli ellissoidi ed il cono quadrico immaginario.
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