Algebra Lineare e Geometria

Il simbolo A C B indica che. A è sottoinsieme di B. A è un elemento di B. A e B sono due insiemi congruenti. B è un sottoinsieme di A.

L'espressione D 10,3 si sviluppa come. prodotto di 3 fattori crescenti partendo dal 10. prodotto di 10 fattori decrescenti partendo dal 10. somma di tre fattori decrescenti partendo dal 10. prodotto di 3 fattori decrescenti partendo dal 10.

La classe di equivalenza di un sistema lineare S è: l'insieme di tutti i sistemi lineari equivalenti ad S. Un sistema lineae noni equivalenti ad S. nessuna delle precedenti. l'insieme di alcuni sistemi lineari equivalenti ad S.

Due sistemi lineari di m equazioni in n incognite si dicono equivalenti in quale caso?. se hanno le stesse soluzioni. se non hanno le stesse soluzioni. se le soluzioni sono il reciproco dell'altro. se non hanno soluzioni.

Quale tra i seguenti sono raggruppamenti di oggetti?. I punti di un segmento. I professori più bravi della tua scuola. I migliori vini d'Italia. Le città più importanti d'Italia.

Nelle combinazioni semplici , se k=n i gruppi che si potranno formare saranno uguali a : 0. n. 1. k.

Sia A ={1, 2, 3, 4}, definire su A un esempio di relazione di equivalenza, e calcolare le sue classi di equivalenza. R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3)},le cui classi di equivalenza sono i singoletti{1},{1},{3},{3}. R = { (1, 2), (3, 4), (1, 4)}, le cui classi di equivalenza sono i singoletti{2},{2}. R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3)}, le cui classi di equivalenza sono i singoletti{1},{1},{3},{3}. R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}, le cui classi di equivalenza sono i singoletti{1},{2},{3},{4}.

Il simbolo a appartiene A indica che. è una scrittura errata. a è un insieme minore di A. a è un elemento di A. a è un sottoinsieme di A.

Quanti sono i possibili anagrammi (anche senza senso) della parola COMPUTER?. P4=4!=24. P6=6!=240. P8=8!=40320. D′8,8=8elevato8.

Moltiplicando una matrice n per m per la sua trasposta si ottiene: una matrice quadrata di ordine m. una matrice m x n. una matrice quadrata di ordine n. una matrice quadrata di termini non negativi.

Definizione di matrice quadrata triangolare inferiore: se Qualunque i = k si ha a ik = 0 cioè se tutti gli elementi della diagonale principale sono nulli. se Qualunque i <k si ha a ik = 0 cioè se tutti gli elementi al di sopra della diagonale principale sono nulli. se Qualunque i >k si ha a ik = 0 cioè se tutti gli elementi al di sotto della diagonale principale sono nulli. se Qualunque i = k si ha a ik = 0 cioè se tutti gli elementi al di sopra della diagonale principale sono non nulli.

Una matrice quadrata A di ordine n è detta nilpotente di ordine k se. la potenza A elevato a k è una matrice quadrata. la potenza A elevato a k è una matrice nulla (O). la potenza A elevato a k è una matrice non nulla. la potenza A elevato a k è una matrice identità (I).

Quali delle seguenti operazioni fanno parte del Teorema di Gauss: moltiplicazione di ambo i membri di un'equazione per una costante nulla. un'equazione è sostituita dalla somma di se stessa con un multiplo di un'altra. un'equazione è sostituita dalla divisione di se stessa con un multiplo di un'altra. un'equazione è sostituita dalla differenza tra dei termini noto.

L'inversa di una matrice diagonale, quando esiste è una matrice. Triangolare superiore. Triangolare. Diagonale inferiore. Diagonale.

Siano A(2, 3), B(3, 4) C(4, 1), esiste la matrice D = A B C? se si di che tipo è?. Si, di tipo(1,2). Si, di tipo(2,1). Si, di tipo(4,1). No.

Due matrici A e B sono uguali se e solo se: sono dello stesso tipo e se a ik= b ik qualunque i, k. non sono dello stesso tipo e se a ik= b ik qualunque i, k. non sono dello stesso tipo e se a ik diverso da b ik qualunque i, k. sono dello stesso tipo e se a ik diverso da b ik qualunque i, k.

Una matrice quadrata A di ordine n è detta idempotente di ordine k se. la potenza A elevato a k è uguale ad una matrice quadrata. la potenza A elevato a k è uguale alla matrice nulla(O). la potenza A elevato a k è uguale a A. la potenza A elevato a k è uguale alla matrice identità(I).

Siano A(2, 3) B(3, 3) e C(3, 2). La matrice ABC è quadrata? se sì di che ordine?. Si di ordine 2. Si di ordine 3. Si di ordine 1. No.

Dati i seguenti 4 vettori di R3: ~ e1 = [1, 0, 0], ~ e2 = [0, 1, 0], ~ u = [3, 4, 2] e ~ v = [2, 5, 0], quale bisogna eliminare tra ~ u e ~ v in modo che i rimanenti 3 formino una base. (questo simbolo ~ rappresenta la freccia del vettore). ~ v = 6 ~ e2 + 5 ~ e1 . . . ~ v = 4 ~ e1 + 1 ~ e2 . . . ~ v = 1 ~ e1 + 4 ~ e2 . . . ~ v = 2 ~ e1 + 5 ~ e2 . . .

Dati ~ v = [1 0 -1] ~ w = [1 0 2] ~ u =[ 0 2 1] ~ z =[ 0 0 3] dire se ~ v, ~ w e ~ z sono linearmente dipendenti o indipendenti. (questo simbolo ~ rappresenta la freccia del vettore). ~ v, ~ w e ~ z sono linearmente indipendenti. ~ u, ~ w e ~ z sono linearmente dipendenti. ~ v, ~ w e ~ z sono linearmente dipendenti. ~ v, ~ u e ~ z sono linearmente dipendenti.

In R3 sono dati i seguenti insiemi di vettori: i) S1 = [1, 1, 1], [0, 1, 1], [1, 0, 0];ii) S2 = [2, 1, 0], [0, 1, 0],[1, 0, 1];iii) S3 = [1, 1, 2],[-1, 0,-1], [0, 1, 0], [0, 0, 1]. Stabilire, per ciascuno di essi, se costituiscono un sistema di generatori e, in particolare, se sono delle basi per R3. (Gli insiemi come S1 è omessa la parentesi graffa di apertura e chiusura per problemi di quiz, ovviamente e come se ci fosse.). S1 è una base, S2 è un sistema di generatori. S1 ed S3 sono delle basi, S2 è un sistema di generatori. S1 ed S2 sono delle basi, S3 è un sistema di generatori. S2 ed S3 sono delle basi, S1 è un sistema di generatori.

Trovare le componenti del vettore ~ v = 2 ~ e1 +~ e2 + 7 ~ e3 rispetto alla base B1 = ~ e1 ,~ e1 + ~ e2 ,~ e1 +~ e3 (questo simbolo ~ rappresenta la freccia del vettore). [-6, 1, 7]. [5, -1, 7]. [-1, 5, 3]. [-2, 4, 7].

Per quali valori del parametro t l'insieme B = [2, t], [t, 2] è una base di R 2?. Qaulunque t diverso da + - 2. t diversa da zero. t=-2. t=2.

Trovare una base ~ e1 , ~ e2 di R2 tale che [1, 0]= ~ e1 + ~ e2 [ 0, 1] = ~ e1 - ~ e2 . (questo simbolo ~ rappresenta la freccia del vettore). ~e1 =[1/2 , 1/2], ~e2 =[1/2 , -1/2]. e1 =[1/3 , 1/3], ~e2 =[1/3 , -1/3]. ~e1 =[1/5 , 1/5], ~e2 =[1/5 , -1/5]. ~e1 =[1/4 , 1/4], ~e2 =[1/4 , -1/4].

Nello spazio vettoriale R3 si consideri la base canonica B = ~ e1 = [1, 0, 0], ~ e2 = [0, 1, 0], ~ e3 = [0, 0, 1] ed il seguente sottospazio W1 generato da ~ e1 + 2 ~e3 , ~ e3 ,~ e1 +~ e3 (questo simbolo ~ rappresenta la freccia del vettore). W1=<[0, 0, 3], [3, 0, 1], [1, 2, 1] > quindi dimW1= 4. W1=<[2, 0, 2], [2, 0, 1], [0, 0, 1] > quindi dimW1= 1. W1=<[0, 1, 2], [0, 1, 1], [0, 0, 1] > quindi dimW1= 2. W1=<[1, 0, 2], [0, 0, 1], [1, 0, 1] > quindi dimW1= 3.

Nello spazio vettoriale R3 si consideri la base canonica B = ~ e1 = [1, 0, 0], ~ e2 = [0, 1, 0], ~ e3 = [0, 0, 1] ed il seguente sottospazio W2 generato da ~ e1 ,~ e1-~ e2 ,~ e1 +~ e3. W2=<[1, 0, 1][-1,-1, 0], [0, 0, 1] > quindi dimW2= 1. W2=<[1, 1, 0][1,1, 0], [1, 1, 1] > quindi dimW2= 2. W2=. W2=<[1, 0, 0][1,-1, 0], [1, 0, 1] > quindi dimW2= 3.

Delle seguenti terne di vettori di R3, dire quali sono linearmente dipendenti e quali linearmente indipendenti. i) ~ v1 = [2, 1, 0], ~ v2 = [0,-1, 1] e ~ v3 = [1, 1,0]; ii) ~ v 1 = [1, 1, 1], ~ v 2 =[-2,-2,-2] e ~ v 3 = [0, 1, 1]; iii) ~ v 1 = [0, 1, 0], ~ v 2 = [1,-1, 2] e ~ v 3 = [2, 1, 3]. Gli unici linearmente dipendenti sono quelli della terna i. Gli unici linearmente dipendenti sono quelli della terna ii. Gli unici linearmente dipendenti sono quelli della terna iii. nessuno delle tre.

Se in una matrice quadrata agli elementi di una colonna si sommano i corrispondenti elementi di un'altra colonna moltiplicati per uno stesso numero, il determinante. rimane inalterato. cambia segno. dimezza. raddoppia.

Una matrice A è invertibile se e solo se. det(A) uguale zero. A=0. A=I. det(A) diversa da zero.

Se A è invertibile, allora AB = AC implica. B= A. B = C. A = C. B = I.

Se A è invertibile, allora BA = CA implica. B = C. B = A. A = I. A = C.

Se in una matrice quadrata si scambiano tra loro due righe, il determinante della matrice: cambia segno. si dimezza. raddoppia. rimane inalterato.

Se A è una matrice quadrata con det (A) diverso da 0 si ha: det (A elevato a –1) = det(A). det (A elevato a –1) = 0. det (A elevato a –1) = (det(A)) elevato al quadrato. det(A) det (A elevato a –1) = 1.

A matrice quadrata, il Det(nA)=. Non si può dire nulla. n det(A). 2n det(A). (n*n) det(A).

Sia A = A elevato a -1 Che valori può assumere il determinante di A?. det (A) = +3. det (A) = +-1. det (A) = +-2. det(A) = 0.

È sempre vero che det(AB) = det(BA)?. Sì se A e B sono quadrate dello stesso ordine. Sì se A e B sono quadrate ma non dello stesso ordine. NO se A e B sono quadrate dello stesso ordine. Sì se A e B non sono quadrate dello stesso ordine.

Un sistema omogeneo: infinite soluzioni. nessuna delle precedenti. è sempre possibile ed ammette sempre come soluzione banale il vettore nullo. nessuna soluzioni.

Il Teorema Rouché–Capelli afferma: sia Ax=b un sistema lineare di m equazioni in n incognite; esso ammette soluzioni se e solo se. r(A) > r(A|b). r(A) = r(A|b). r(A) <r(A|b). r(A) = r(A|b)=0.

Due vettori sono ortogonali se e solo se il: nessuna delle precenti. il loro prodotto scalare è nullo. il loro prodotto scalare è non nullo. il loro prodotto scalare è negativo.

Quale dell seguenti proprietà delle forme bilineari è corretta: g(av, w) = g(v, aw) = ag(v, w). g(v, w 1 + w 2 ) = g(v, w 1 ) + g(v, w 2 ). g(v 1 + v 2 , w) = g(v 1 , w) + g(v 2 , w). tutte le precedenti.

Un sistema si dice impossibile quando: ha infinite soluzioni. è molto difficile da risolvere. non ha soluzione. ha più di due incognite.

Affermare che due sistemi sono equivalenti significa che: hanno le stesse soluzioni. si possono risolvere nello stesso modo. sono entrambi dello stesso tipo. hanno gli stessi coefficienti.

Un sistema lineare si dice determinato: quando ha una sola soluzione. quando ha una coppia di soluzioni. in nessuno dei casi precedenti. quando ha almeno una soluzione.

La regola di Cramer è valida per la risoluzione di: qualunque sistema di n equazioni in n incognite determinato. qualunque sistema determinato. qualunque sistema lineare. qualunque sistema.

Un sistema omogeneo ammette sempre: infinite soluzioni. Due soluzioni. nessuna soluzione. almeno una soluzione.

Una matrice U è ortogonale se e solo se le sue colonne formano. un sistema ortonormale di autovettori. nessuna delle precedenti. un sistema ortonormale di vettori. un sistema lineare di autovalori.

Una matrice quadrata A di ordine n è diagonalizzabile se e solo se. non ammette n autovettori indipendenti. ammette n autovettori indipendenti. nessuna delle precedenti. ammette n autovalori dipendenti.

Due matrici simili A e B hanno lo stesso polinomio caratteristico. Quale affermazione è corretta?. Le matrici sono identiche. nessuna delle precenti. Le matrici non sono invertibili. Le matrici sono invertibili.

Sia A quadrata di ordine n 3 e rango 1, allora A. ha solo l'autovalore nullo. ha tutti gli autovalori distinti. nessuna delle precedenti. ha n autovalori uguali a 1.

Siano A e B due matrici quadrate reali di ordine n. Allora è vero che: A e B hanno gli stessi autovettori. Valgono le due proprietà precedenti. A e B hanno gli stessi autovalori. Non vale nessuna delle proprietà precedenti.

Una matrice A appartenente a Mn(R) e‘ sicuramente diagonalizzabile per similitudine se. è simmetrica. nessuna delle precedenti. la somma delle molteplicità algebriche dei suoi autovalori è n. il suo polinomio caratteristico è privo di radici complesse a parte immaginaria non nulla.

Sia A l'insieme delle matrici associate a forme quadratiche su R3. Alcune matrici di A ammettono coppie, ma non terne, di autovettori linearmente indipendenti. Nessuno dei casi precedenti. Tutte le matrici di A ammettono almeno un autovettore, ma alcune non ammettono coppie di autovettori linearmente indipendenti. Tutte le matrici di A ammettono terne di autovettori linearmente indipendenti.

Siano A e B due matrici quadrate tra loro simili. Quale affermazione è falsa?. Le matrici A e B hannolo stesso polinomi caratteristico. tutte le precedenti. Le matrici A e B sono diagonalizzabili. Se A è diagonalizzabile allora B è diagonalizzabile.

Sia A una matrice simmetrica reale. Qual è quella corretta?. Due autospazi di A sono sempre ortogonali. Due autovettori distinti di A sono sempre ortogonali. Nessuna delle precedenti. Due autovalori di A sono sempre positivi.

Una forma quadratica è definita negativa se e solo se tutti gli autovalori di A sono. nessuna delle precedenti. uguali a zero. negativi. positivi.

Si chiama forma canonica ogni forma quadratica la cui matrice associata è. diagonale. di rango=1. nessuna delle precedenti. unitaria.

Si chiama rango della forma quadratica il rango della matrice. nulla. ad essa associata. identica. nessuna delle precenti.

Un polinomio omogeneo di grado m si chiama forma quadratica se: il polinomio è di primo grado. il polinomio è di secondo grado. nessuna delle precedenti. il polinomio è di terzo grado.

Una matrice A è diagonalizzabile se e solo se il suo polinomio minimo ammette. solo radici semplici. solo radici multiple. nessuna delle precedenti. una radice invertibile.

Due matrici simili hanno: nessuna delle precedenti. differente polinomio minimo. non hanno lo stesso polinomio caratteristico. lo stesso polinomio minimo.

Teorema di Cayley-Hamilton è: Nessuno dei casi precedenti. indipendente. invertibile. non invertibile.

Una matrice è unitariamente simile ad una matrice diagonale se e solo se. è normale. è di Lagrange. tutte le precedenti. è hermitiana.

Ogni forma quadratica a coefficienti complessi (reali) di rango r > 0 si può ridurre, mediante una trasformazione lineare invertibile a. autovettori in forma complessa. autovalori in forma canonica. Nessuna delle precedenti. coefficienti complessi (reali) alla forma canonica.

Due rette sono parallele se e solo se hanno. diverso coefficiente angolare. nessuna delle precedenti. lo stesso coefficiente angolare. coefficiente angolare nullo.

Il fascio di rette di centro P (x0; y0) ha equazione. y - y0 = m (x - x0). nessuna delle precedenti. y - y0 = x - x0. y = 2x+1.

Quale dei seguenti punti soddisfa la relazione 2x+3y=5. -0.1. 0. -1.1. nessuna delle precenti.

In un piano cartesiano, un punto corrisponde a. un numero. la somma di due numeri reali. una coppia di numeri. nessuna delle precedenti.

La distanza di un punto dall'asse y è: l'ascissa del punto?. l'ordinata del punto. Non vale nessuna delle proprietà precedenti. zero.

Le rette di equazione x = 3 e y = -2 sono fra loro. perpendicolari. parallele. diagonali. nessuna delle precedenti.

Che cos'è un fasco di rette?. L'insieme di tutte le rette del piano tangenti ad un punto P. La retta del piano che passa per due punti. L'insieme di tutte le rette del piano che passano per un punto P. nessuna delle precedenti.

Cosa rappresenta il oefficiente angolare?. Nessuna delle precedenti. rappresenta la secante goniometrica dell'angolo che la retta forma con l'asse x. rappresenta la tangente goniometrica dell'angolo che la retta forma con l'asse x. rappresenta la tangente goniometrica dell'angolo che la retta forma con l'asse y.

Se k = 0, la retta di equazione kx+y+1=0 è: Nessuno dei casi precedenti. parallela all'asse y. parallela all'asse x. appartenente ad un fascio di rette.

Una retta ed una circonferenza hanno in comune due punti: se sono immaginarie la retta. è esterna. è secante. nessuna delle precedenti. è tangente.

In una circonferenza, se si uniscono gli estremi di una corda con il centro si ottiene generalmente un triangolo. rettangolo. nessuna delle precedenti. equilatero. isoscele.

Quale delle seguenti rette incontra la circonferenza in un solo punto?. tangente. secante. nessuna delle precedenti. esterna.

Tutte le circonferenze di un fascio concentriche, sono tangenti alla retta impropria ne. nessuna delle precedenti. punti base. punti ciclici. punti esterni.

Una retta ed una circonferenza hanno in comune due punti: se sono reali e coincidenti la retta. è esterna. nessuna delle precedenti. è secante. è tangente.

Una retta ed una circonferenza hanno in comune due punti: se i due punti sono reali e distinti la retta. è esterna. è tangente. è secante. nessuna delle precedenti.

I punti ciclici del piano soddisfano l'equazione di una. qualsiasi circonferenza. retta secante alla circonferenza. nessuno dei casi precedenti. retta tangente alla circonferenza.

Per descrivere un fascio di circonferenze è necessario avere. avere due punti (base). nessuna delle precedenti. avere tre punti (base). avere un punto (base).

Dato P un punto e una circonferenza. Se P è esterno alla circonferenza da P. esce un solo punto tangente alla circonferenza. escono tre punti tangente alla circonferenza. escono due e due sole tangenti alla circonferenza. nessuna delle precedenti.

Data l'ellisse di equazione (X^2/a^2 + 4y^2/a^2 = 1) uquale risposta è corretta?. nessuna delle precedenti. I fuochi si trovano sull'asse x. Un vertice ha coordinate (1a/2;0). Se a = 1 , la curva passa per (1; −1/2).

La parabola y=ax^2 - 2x + 1 ha il vertice sulla retta y=x se: a=5. nessuna delle precedenti. a=1. a=2.

Per quali valori del parametro k appartenente a R l'equazione x^2 + (k-2)y^2 = 2 rappresenta un'ellisse con i fuochi sull'asse Y?. K > 2. nessuna delle precedenti. k > 3. 2 <k <3.

Considera l'ellisse di equazione 2x^2 + y^2 - 8x + 6y + 13=0 Quale fra le seguenti proposizioni è vera?. nessuna delle precenti. Le coordinate del centro sono (4; -3). L'eccentricità è 1/2. L'eccentricità è 1/radice di 2.

Dati due punti F1 e F2 del piano, si chiama ellisse di fuochi F1 e F2 l'insieme dei punti P del piano tali che. sia costante il prodotto delle distanze di P da F1 e F2. sia costante la differenza delle distanze di P da F1 e F2. sia costante la somma delle distanze di P da F1 e F2. nessuna delle precedenti.

L'eccentricità di un ellisse è: un numero uguale a 1. un numero maggiore di 1. Nessuna delle precedenti. un numero minore di 1.

L'eccentricità di una parabola è: un numero minore di 1. Nessuna delle precedenti. un numero maggiore di 1. un numero uguale a 1.

L'eccentricità di un'iperbole è: un numero uguale a 1. un numero maggiore di 1. un numero minore di 1. Nessuna delle precedenti.

Una parabola e una circonferenza possono avere in comune al massimo: Un arco. Quattro punti. Due punti. nessuna delle precedenti.

Se una retta r descive un fascio che ha per sostegno il punto P allora il suo polo descrive. nessuna delle precedenti. due iperbole alla conica, reali. una tangente alla conica, reale. due tangenti alla conica, reali o meno. ?.

I punti uniti della proiettività di equazione di secondo grado può avere: Nessuna delle precedenti. due punti separati distinti; un punto unito triplo; tre punti uniti. due punti uniti uguali; un punto unico;. due punti uniti distinti; un punto unito doppio; nessun punto unito.

Se in una proiettività pigreco tra forme di prima specie sovrapposte si ha una coppia di punti A e B tale che pigreco(A) = B =>pigreco(B) = A si dice che la coppia è. è involutoria o che i punti si corrispondono in doppio modo. non è involutoria o che i punti si corrispondono in doppio modo. i punti si corrispondono in triplo modo. nessuna delle precedenti.

Le involuzioni si possono classificare in base ai loro punti uniti: precisamente un'involuzione è. iperbolica; ellittica. parabolica. rettangoloide. Nessuno dei casi precedenti.

se P appartiene alla conica (e soltanto in questo caso) la sua polare rispetto alla conica è. nessuna delle precedenti. la tangente in P alla conica. il settore circolare in P alla conica. una retta secante in P alla conica.

Per un punto P non appartenente ad una conica passano esattamente. una tangente alla conica, reale. due iperbole alla conica, reali. due tangenti alla conica, reali o meno. nessuna delle precedenti.

Si chiama autopolare per una conica irriducibile un triangolo tale che. nessuna delle precenti. un solo vertice sia il polo del lato opposto. ogni vertice sia il polo del lato contiguo. ogni vertice sia il polo del lato opposto.

Per una parabola P tutti i diametri sono paralleli e passano per. il punto tangente di P,. i punti propri di P,. nessuna delle precedenti. il punto improprio di P.

Se una conica a centro possiede un asse, ne possiede. almeno un altro. tre. almeno due. nessuna delle precedenti.

In un sistema di coordinate omogenee nello spazio, se la quarta coordinata omogenea sarà nulla, allora si avrà a che fare con punti dello spazio chiamati: nessuna delle precedenti. impropri o all'infinito. propri. derivati.

Non è possibile descrivere una retta nello spazio mediante: nessuna delle precedenti. tre sole equazione cartesiana. due sole equazioni cartesiana. una sola equazione cartesiana.

Due rette si dicono parallele se. tre. sono ortogonali. hanno la stessa direzione. non hanno la stessa direzione.

Nello spazio, dati il punto P e la retta r che non si appartengono, quante sono le rette che passano per P e sono parallele ad r?. infinite. due. una ed una sola. nessuna delle precenti.

Siano dati due piani, saranno non paralleli se i vettori v1 e v2 sono: nessuno dei casi precedenti. sono linearmente indipendenti. sono linearmente dipendenti. sono ortogonali fra loro.

Due rette che non hanno punti in comune e non sono parallele, cioè due rette non complanari, si dicono. incidenti. parallele. sghembe. nessuna delle precedenti.

Teoema: nello spazio tutte e sole le equazioni della forma ax+by+cz+d=0 rappresentano un piano in cui a, b e c sono. numeri tutti e tre nulli. numeri immaginari. nessuna delle precedenti. numeri non tutti e tre nulli.

Nello spazio un punto è quindi individuato da. nessuna delle precedenti. due coppie ordinata di numeri reali. una terna ordinata di numeri reali. una terna ordinata di numeri immaginari.

l'equazione del fascio di piani che ha per sostegno la retta r si ottiene come combinazione lineare delle equazioni. di tre piani qualsiasi passanti per r. di due piani qualsiasi passanti per r. nessuna delle precedenti. di due piani qualsiasi non passanti per r.

Una retta ed una superficie algebrica di ordine n. nessuna delle precedenti. hanno almeno n+1 punti in comune. hanno al più n punti in comune. non hanno punti in comune.

Nello spazio tutte e sole le equazioni della forma ax + by + cz + d = 0 rappresentano un piano in cui a, b e c sono numeri. tutti e tre nulli. sono ortogonali. non tutti e tre nulli. sempre positivi.

Due rette nello spazio sono dette sghembe se e solo se: appartengono a uno stesso piano e non si incontrano mai. non appartengono allo stesso piano. nessuna delle precenti. non appartengono allo stesso piano e non si incontrano mai.

Per quanto riguarda le rotazioni vale un teorema secondo cui la matrice di una rotazione è: nessuna delle precedenti. una matrice diagonale. una matrice identica. una matrice ortogonale.

Se tutti i punti di una curva appartengono ad un medesimo piano la curva si dice: piana. sghemba. nessuna delle precedenti. gobba.

Un punto P di un a superficie algebrica si dice multiplo per la superficie stessa se: ogni retta passante per P è secante alla superficie algebrica. ogni retta passante per P è tangente alla superficie algebrica. nessuna delle precedenti. ogni retta passante per P è parallela alla superficie algebrica.

In un sistema di riferimento cartesiano le equazioni parametriche di un piano: nessuno dei casi precedenti. sono sempre lineari. sono sempre algebiche. possono anche non essere lineari.

Si chiama superficie nello spazio. nessuna delle precedenti. il luogo dei punti dello spazio che soddisfano un'equazione solo cartesiana. il luogo dei punti dello spazio che soddisfano un'equazione cartesiana o parametrica. il luogo dei punti dello spazio che soddisfano un'equazione solo parametrica.

La composizione di una rotazione e di una traslazione. è commutativa. non è commutativa.

Si dice rigata una superficie S tale che per ogni suo punto passi. nessuna delle precedenti. almeno una retta reale tangente alla stessa superficie. almeno una retta reale tutta contenuta nella stessa superficie. almeno due rette reali tutte contenute nella stessa superficie.

Il piano che fa parte di un fasco di sfere si chiama. piano radicale del fascio. tangente del fascio. nessuna delle precedenti. sostegno del fascio.

Si definisce un fascio di sfere. nessuna delle precenti. una sfera che passa per una data circonferenza e dal piano che la contiene. l'insieme F di tutte e sole le sfere che passano per una data circonferenza e dal piano che la contiene. l'insieme F di tutte e sole le sfere che sono tangenti ad una data circonferenza.

Si chiama di rotazione o rotonda una superficie S ottenuta facendo ruotare. una linea L attorno ad una retta r. nessuna delle precedenti. una cinrconferenza attorno ad una retta r. una linea L attorno ad una circonferenza.

L'intersezione di una sfera con un piano rappresenta una circonferenza, reale. nessuno dei casi precedenti. se la sua distanza dal centro è uguale al raggio R. se la sua distanza dal centro è minore del raggio R. se la sua distanza dal centro è maggiore del raggio R.

L'intersezione di una sfera con un piano rappresenta una circonferenza, immaginaria se. se la sua distanza dal centro è uguale al raggio R. se la sua distanza dal centro è maggiore del raggio R. se la sua distanza dal centro è minore del raggio R. nessuna delle precedenti.

L'intersezione di una sfera con un piano rappresenta una circonferenza, ridotta ad un solo punto se. se la sua distanza dal centro è uguale al raggio R. se la sua distanza dal centro è maggiore del raggio R. se la sua distanza dal centro è minore del raggio R. nessuna delle precedenti.

L'equazione del piano tangente in O ad una sfera passante per O si ottiene. sempre eguagliando a zero il complesso dei termini lineari dell'equazione della superficie. sempre impostando ad un numero >di zero il complesso dei termini lineari dell'equazione della superficie. nessuna delle precedenti. sempre eguagliando a uno il complesso dei termini lineari dell'equazione della superficie.

Si chiama sfera il luogo dei punti dello spazio. nessuna delle precedenti. equidistanti da un punto fissato. distanti da un certo punto fissato. equidistanti da due punti fissati.

Una curva algebrica L , si chiama cono di vertice V e direttice L. l'insieme di tutte e sole le rette secanti per V e passanti per L. l'insieme di tutte e sole le rette passanti per V e secanti la L. l'insieme di tutte e sole le rette tangenti per V e secanti la L. Nessuna delle precedenti.

Le equazioni omogenee intere nelle incognite x, y, z rappresentano tutti e soli. nessuna delle precedenti. il cono con il vertice nell'origine. i coni con il vertice nell'origine. i cilindri.

si chiama cilindro di direttrice g e generatrice r la superficie (rigata) formata da: tutte e sole le rette perpendicolari ad r che intersecano la g. tutte e sole le rette secanti ad r che intersecano la g. Nessuno dei casi precedenti. tutte e sole le rette parallele ad r che intersecano la g.

Nello spazio, riferito ad un sistema di coordinate cartesiane ortogonali, si chiama superficie quadrica ogni superficie rappresentata da un'equazione polinomiale di. secondo grado nelle variabili x, y e z. secondo grado nelle variabili x e y. primo grado nelle variabili x, y e z. nessuna delle precedenti.

L'equazione di una qualunque quadrica si può ricondurre, con una opportuna rototraslazione del sistema di riferimento, ad una ed una sola delle forme canoniche elencate che riguarda le quadriche specializzate. ellissoide completamente immaginario. cilindro quadrico a sezione ellittica?. ellissoide reale. paraboloide ellittico.

Un punto P di una quadrica S si dice parabolico a seconda che il piano tangente in P tagli la quadrica rispettivamente in: due rette immaginarie. due rette coincidenti. due rette distinte. nessuna delle precedenti.

Un punto P di una quadrica S si dice ellittico a seconda che il piano tangente in P tagli la quadrica rispettivamente in: due rette coincidenti. due rette immaginarie. nessuna delle precenti. due rette distinte.

Un punto P di una quadrica S si dice iperbolico a seconda che il piano tangente in P tagli la quadrica rispettivamente in: nessuna delle precedenti. due rette distinte. due rette immaginarie. due rette coincidenti.

La conica all'infinito è reale e non degenere: nessuna delle precedenti. per il cilindro quadrico a sezione parabolica. per gli iperboloidi ed il cono quadrico reale. per gli ellissoidi ed il cono quadrico immaginario.