Fon_Di_Aut aperte

Verificare, mostrando e argomentando i vari passaggi, le proprietà strutturali (stabilità, raggiungibilità, osservabilità) del sistema descritto dalle matrici A = [prima riga: [-1 1], seconda riga: [2 -2]], B = [1 0]^T, C = [1 1], D=0. p(lambda) = det(A - lambda*I) = lambda^2 + 3*lambda = lambda*(lambda+3) - lambda_1 = 0, lambda_2 = -3 lambda_1 = 0 ha mu_A = mu_G = 1 (m.a. unitaria) STABILE SEMPLICEMENTE --- AB = [-1, 2]^T R = [[1, -1], [0, 2]] -> det(R) = 2 ≠ 0 -> rank = 2 = n COMPLETAMENTE RAGGIUNGIBILE --- CA = [1, -1] O = [[1, 1], [1, -1]] -> det(O) = -2 ≠ 0 -> rank = 2 = n COMPLETAMENTE OSSERVABILE*.

Verificare, mostrando e argomentando i vari passaggi, le proprietà strutturali (stabilità, raggiungibilità, osservabilità) del sistema descritto dalle matrici A = [prima riga: [-1 1], seconda riga: [-2 -2]], B = [1 0]^T, C = [1 1], D=0. p(lambda) = det(A - lambda*I) = (-1-lambda)(-2-lambda) - (1)(-2) = lambda^2 + 3*lambda + 2 + 2 = lambda^2 + 3*lambda + 4 Delta = 9 - 16 = -7 < 0 lambda_1,2 = (-3 +/- j*sqrt(7)) / 2 Re(lambda) = -3/2 < 0 per entrambi ASINTOTICAMENTE STABILE --- AB = [[-1,1],[-2,-2]] * [1,0]^T = [-1, -2]^T R = [[1, -1], [0, -2]] -> det(R) = -2 != 0 -> rank = 2 = n COMPLETAMENTE RAGGIUNGIBILE --- CA = [1,1] * [[-1,1],[-2,-2]] = [-3, -1] O = [[1, 1], [-3, -1]] -> det(O) = -1+3 = 2 != 0 -> rank = 2 = n COMPLETAMENTE OSSERVABILE.

Verificare, mostrando e argomentando i vari passaggi, le proprietà strutturali (stabilità, raggiungibilità, osservabilità) del sistema descritto dalle matrici A = [prima riga: [-1 1], seconda riga: [-1 -3]], B = [1 1]^T, C = [0 1], D=0. p(lambda) = det(A - lambda*I) = (-1-lambda)(-3-lambda) - (1)(-1) = lambda^2 + 4*lambda + 3 + 1 = lambda^2 + 4*lambda + 4 = (lambda + 2)^2 lambda_1,2 = -2 (autovalore doppio) mu_A = 2, verifico mu_G: rank(A - (-2)*I) = rank([[1,1],[-1,-1]]) = 1 mu_G = n - rank = 2 - 1 = 1 mu_G = mu_A? -> 1 != 2 -> NON diagonalizzabile Re(lambda) = -2 < 0 per entrambi ASINTOTICAMENTE STABILE --- AB = [[-1,1],[-1,-3]] * [1,1]^T = [0, -4]^T R = [[1, 0], [1, -4]] -> det(R) = -4 != 0 -> rank = 2 = n COMPLETAMENTE RAGGIUNGIBILE --- CA = [0,1] * [[-1,1],[-1,-3]] = [-1, -3] O = [[0, 1], [-1, -3]] -> det(O) = 0*(-3) - 1*(-1) = 1 != 0 -> rank = 2 = n COMPLETAMENTE OSSERVABILE.

Calcolare il numero di autovalori a parte reale strettamente positiva del sistema caratterizzato dal polinomio caratteristico con coefficienti [1, 2, 2, 1, 1] (ordinati in ordine decrescente rispetto all'ordine del fattore che moltiplicano) usando il criterio di Routh. Mostrare e argomentare i vari passaggi spiegando l'utilità del criterio di Routh. -.

Calcolare il numero di autovalori a parte reale strettamente positiva del sistema caratterizzato dal polinomio caratteristico con coefficienti [1, 2, 2, 3, 3] (ordinati in ordine decrescente rispetto all'ordine del fattore che moltiplicano) usando il criterio di Routh. Mostrare e argomentare i vari passaggi spiegando l'utilità del criterio di Routh. -.

Calcolare il numero di autovalori a parte reale strettamente positiva del sistema caratterizzato dal polinomio caratteristico con coefficienti [1, 2, 0, 1, 1] (ordinati in ordine decrescente rispetto all'ordine del fattore che moltiplicano) usando il criterio di Routh. Mostrare e argomentare i vari passaggi spiegando l'utilità del criterio di Routh. -.

Calcolare il numero di autovalori a parte reale strettamente positiva del sistema caratterizzato dal polinomio caratteristico con coefficienti [1, 6, 13, 12, 4] (ordinati in ordine decrescente rispetto all'ordine del fattore che moltiplicano) usando il criterio di Routh. Mostrare e argomentare i vari passaggi spiegando l'utilità del criterio di Routh. -.

Calcolare il numero di autovalori a parte reale strettamente positiva del sistema caratterizzato dal polinomio caratteristico con coefficienti [1, 3, 1, -1, -2] (ordinati in ordine decrescente rispetto all'ordine del fattore che moltiplicano) usando il criterio di Routh. Mostrare e argomentare i vari passaggi spiegando l'utilità del criterio di Routh. -.

Verificare, mostrando e argomentando i vari passaggi, le proprietà strutturali (stabilità, raggiungibilità, osservabilità) del sistema descritto dalle matrici A = [prima riga: [-1 1], seconda riga: [0 -2]], B = [1 0]^T, C = [1 1], D=0. p(lambda) = det(A - lambda*I) = (-1-lambda)(-2-lambda) - 0 = lambda^2 + 3*lambda + 2 = (lambda+1)(lambda+2) lambda_1 = -1, lambda_2 = -2 Re(lambda) < 0 per entrambi ASINTOTICAMENTE STABILE --- AB = [[-1,1],[0,-2]] * [1,0]^T = [-1, 0]^T R = [[1, -1], [0, 0]] det(R) = 0 -> rank = 1 < n=2 NON completamente raggiungibile --- CA = [1,1] * [[-1,1],[0,-2]] = [-1, -1] O = [[1, 1], [-1, -1]] det(O) = -1+1 = 0 -> rank = 1 < n=2 NON completamente osservabile.

Verificare, mostrando e argomentando i vari passaggi, le proprietà strutturali (stabilità, raggiungibilità, osservabilità) del sistema descritto dalle matrici A = [prima riga: [-1 1], seconda riga: [0 -2]], B = [1 0]^T, C = [1 -1], D=0. p(lambda) = (-1-lambda)(-2-lambda) = (lambda+1)(lambda+2) lambda_1 = -1, lambda_2 = -2 Re(lambda) < 0 per entrambi ASINTOTICAMENTE STABILE --- AB = [-1, 0]^T R = [[1, -1], [0, 0]] det(R) = 0 -> rank = 1 < n=2 NON completamente raggiungibile --- CA = [1,-1] * [[-1,1],[0,-2]] = [-1, 3] O = [[1, -1], [-1, 3]] det(O) = 1*3 - (-1)*(-1) = 3 - 1 = 2 != 0 -> rank = 2 = n COMPLETAMENTE OSSERVABILE.