Metodi di Analisi Matematica

Il numero complesso z=-1+i in forma goniometrica è. √2 (sin(3/4 π)+icos(3/4 π). √2 (cos(3/4 π)+i sin(3/4 π). 2(sin(3/4 π)+icos(3/4 π). 2(cos(3/4 π)+isin(3/4 π).

L'argomento principale del numero complesso z=-3-4i è. arctan(4/3). arctan(4/3)+π. arctan(3/4)-π. arctan(4/3)-π.

Se z=3-2i e w=1+i, la parte reale di z/w è. 1/2. 3. -2,5. 1/√2.

Le radici seste di z=3+4i sono i vertici di. un esagono inscritto nella circonferenza di centro l'origine e raggio 5. un esagono inscritto nella circonferenza di centro z e raggio 5. un esagono inscritto nella circonferenza di centro z e raggio radice sesta di 5. un esagono inscritto nella circonferenza di centro l'origine e raggio radice sesta di 5.

Il numero complesso z=1-i in forma esponenziale è. √2 exp(π/4 i). √2 exp(-π/4 i). 2exp(-π/4 i). 2exp(π/4 i).

Sia z=½+i (√3)/2. Allora. z^3=√2 exp(πi). z^3=exp(π/3 i). z^3=√2 exp(π/3 i). z^3=exp(πi).

Sia z=e(π/6 i) e w=2+3i. Allora zw è. e^(-π/2) [½-i(√3)/2]. e^(π/2) [½-i(√3)/2]. e^(-π/2) [½+i√3/2]. e^(π/2) [½+i(√3)/2].

Ln(-1-i) è uguale a. ln(radice di 2)+i(5/4 pigreco). ln(radice di 2)+i(3/4 pigreco+2kpigreco). ln(√2)+i(5/4 π+2kπ). ln(√2)+i(-3/4 π).

Sia f(z)=e^z, con z variabile complessa. Allora. |f(z)|=1 per ogni z in C. f(z) assume sempre valori reali positivi. f(z)=f(x+iy)=e^x + e^iy. f(z) può assumere valori reali negativi.

Se f(z)=sinh(z), allora. f(π/4 i)=(√2/2). f(π/4 i)=2i. f(π/4 i)=i/2. f(π/4 i)=(√2/2)i.

Se f(z)=zez=(x+iy) e^(x+iy), allora. Re[f(z)]=e^y (xcosx-ysiny). Re[f(z)]=e^x (xcosy-ysinx). Re[f(z)]=e^x (xcosy-xsiny). Re[f(z)]=e^x (xcosy-ysiny).

Una branca di f(z)=√z è una funzione. per tutti i valori di z in C. per tutti i valori di z in C escluso lo 0. per tutti i valori di z in C escluso l'asse x. per tutti i valori di z in C escluso il semiasse delle x<0.

Sia z0 un punto di accumulazione del dominio D di f(z). Allora il limite di f(z) per z→z0 è uguale a ∞ se. Esiste K>0: ∀ δ>0 e ∀z∈D∩B_δ(z0)\{z0} risulta |f(z)|>K. ∀ K>0 esiste δ>0: ∀z∈D∩B_δ(z0)\{z0} risulta f(z)>K. Esiste K>0 ed esiste δ>0: ∀z∈D∩B_δ(z0)\{z0} risulta |f(z)|>K. ∀ K>0 esiste δ>0: ∀z∈D∩B_δ(z0)\{z0} risulta |f(z)|>K.

Il limite di (z¯-z)/z^2 (dove z¯ indica il coniugato di z) per z→0, calcolato lungo l'asse immaginario. vale 0. non esiste. vale ∞. vale 2.

Sia f(z) una funzione continua in z0 punto di accumulazione del suo dominio. Allora. Il limite di f(z) esiste lungo qualsiasi curva per z0 ed è uguale a f(z0). f(z0) esiste ed è un valore finito, ma non è detto che il limite di f(z) per z→z0 esista. Il limite di f(z) per z→z0 esiste lungo qualsiasi curva che passa per z0 e il valore del limite può essere ∞. Esistono direzioni lungo le quali f(z) ammette limite finito e direzioni lungo le quali il limite è ∞.

Il limite di f(z)=[2-2cos(z)-z^2] / (3z^4) per z→0 vale. 2/3. -1/36. -0,25. 0.

La funzione f(z)=|z|^2. è derivabile solo per z=0. non è derivabile in alcun punto. è derivabile ∀z∈C\{0}. è derivabile ∀z∈C.

Il limite di (e^z - 1 - z) / z^2 per z→0 vale. ∞. 0. 1. 1/2.

Sia C un cammino parametrizzato da r(t) in [a,b]. C è un cammino semplice se. r(a)=r(b). r(t) è iniettiva. r(t) è suriettiva. r(a)≠r(b).

Se il cammino C è parametrizzato da r(t) in [a,b], allora il cammino inverso -C può essere parametrizzato da. r(b+t(a-b)) con t∈[0,1]. r(a+t(a+b)) con t∈[0,1]. r(b+t(a+b)) con t∈[0,1]. r(b+t(b-a)) con t∈[0,1].

Il sostegno di un cammino C parametrizzato da r(t) in [a,b] è. L'intervallo [a,b]. r(a). r([a,b]). r(b).

∫1/z dz lungo la semicirconferenza di centro l'origine e raggio 1, dal punto z=1 al punto z=-1, vale. πi. -πi. -1. 0.

∫z^2dz lungo la semicirconferenza centrata nell'origine e di raggio 1, dal punto z=1 al punto z=-1, vale. 2/3. 4/3. -2/3. 2/3 i.

∫z/z¯ dz (dove z¯ indica il coniugato di z) lungo la circonferenza centrata nell'origine e di raggio 1 vale. i. 2π. 0. -1.

∫z^2 e^z dz lungo la circonferenza centrata nell'origine e di raggio 1 vale. πi. 1. 2πi. 0.

∫1/z dz lungo la circonferenza centrata in z=1 e di raggio ½ vale. πi. 1. 2πi. 0.

∫1/(z-1) dz lungo una qualsiasi circonferenza centrata in z=1 vale. -πi. 0. πi. 2πi.

Sia f(z) una funzione analitica in un aperto di C. Allora il coefficiente n-esimo della sua espansione in serie di Taylor centrata in z0 è. 1/(2πi)∫f(z)/(z-z0)^n dz lungo una circonferenza centrata in z0. 1/(2πi)∫f(z)/(z-z0)^(n+1) dz lungo una circonferenza centrata in z0. 1/n!∫f(z)/(z-z0)^(n+1) dz lungo una circonferenza centrata in z0. ∫f(z)/(z-z0)^(n+1) dz lungo una circonferenza centrata in z0.

Una funzione di variabile complessa. è analitica se e solo se è olomorfa. Se è analitica non è detto che sia olomorfa. Se è olomorfa non è detto che sia derivabile infinite volte. Se è olomorfa in z0 non è detto che sia sviluppabile in serie di Taylor in un intorno di z0.

Se Λ è un circuito semplice e w è un punto interno a Λ, allora. f^(n) (w) = 1/n!∫f(z)/(z-w)^n dz, dove l'integrale è esteso a Λ. f^(n) (w)=n!/(2πi)∫f(z)/(z-w)^(n+1) dz, dove l'integrale è esteso a Λ. f^(n) (w)=n!/(2πi)∫f(z)/(z-w)^n dz, dove l'integrale è esteso a Λ. f^(n) (w)=1/(2πn!)∫f(z)/(z-w)^(n+1) dz, dove l'integrale è esteso a Λ.

∫e^z / (z-1)^2 dz lungo la circonferenza centrata in z=1 di raggio 1 vale. 2πi. -2πi. eπi. 2eπi.

∫1/(z^2-1) dz lungo la circonferenza centrata in z=-1 di raggio 1 vale. 2πi. 1. 0. -πi.

∫sin(z)/z^4dz lungo la circonferenza centrata nell'origine e di raggio 2 vale. -πi/4!. πi/3. πi/4. -πi/3.

La parte singolare dello sviluppo in serie di Laurent attorno a z=0 della funzione f(z)=1/[z^2 (z-1)] è. -1/z^2 - 1/z. 1/z. -1/z^2 + 1/z. 1/z^2 + 1/z.

La parte singolare dello sviluppo in serie di Laurent attorno a z=0 della funzione f(z)=sin(z)/z è. 1/z. Σz^(2n+1) / (2n+1)!, dove la sommatoria è per n che va da 0 a +∞. 1/z^2. 0.

La funzione f(z)=1/cos(z). non ha singolarità isolate. ha una singolarità isolata in z=0. ha una singolarità non isolata in z=0. ha singolarità isolate in z=π/2+kπ, con k∈Z.

La funzione f(z)=1/(z^2-iz) ha. in z=i un polo doppio. in z=0 e in z=i due poli semplici. in z=0 e in z=i due poli doppi. in z=0 un polo doppio.

La funzione f(z)=(e^z-1)/z ha, in z=0. un polo semplice. una singolarità eliminabile. una singolarità essenziale. un polo doppio.

Sia f(z) una funzione con un polo in z0=i. Allora la sua serie di Laurent centrata in z0 ha. la parte singolare con infiniti termini. soltanto la parte regolare. non ha la parte regolare. la parte singolare con un numero finito di termini.

Il residuo di f(z)=zcos(1/z) in z=0 è. 1. 1/2. 1/4!. -1/2.

Il residuo di f(z)=z^3 e^(1/z) in z=0 è. 0. 1/3!. 1. 1/4!.

Il residuo di f(z)=sin(z)/z^2 in z=0 è. 2!. -1. 0. 1.

Se f(z)=1/g(z), con g(z0)=0 e g'(z0)≠0, allora. z0 è un polo semplice per f(z) e Res(f,z0)=1/f'(z0). z0 è un polo semplice per g(z) e Res(g,z0)=1/g'(z0). z0 è un polo semplice per f(z) e Res(f,z0)=1/g'(z0). z0 è un polo semplice per g(z) e Res(g,z0)=g'(z0).

Il residuo in ∞ di f(z)=[sin(1/z)]/(z-1) è. -1. 0. πi. 1.

Se ∞ è un punto di accumulazione per il dominio di f(z) ed è una singolarità isolata per f(z), allora. il residuo di f(z) in ∞ è il limite di f(z) per z→∞. il residuo di f(z) in ∞ è il residuo di -1/z2f(1/z) in ∞. il residuo di f(z) in ∞ è il residuo di f(1/z) in 0. il residuo di f(z) in ∞ è il residuo di -1/z2f(1/z) in 0.

∫z^3 e^(1/z) dz lungo la circonferenza di centro z=1 e di raggio 4 vale. πi/3. πi/12. πi. πi/4.

∫1/(z^2+1) dz lungo la circonferenza centrata in z=i e di raggio 1 vale. 2πi[Res(f,i)-Res(f,-i)]. 2πiRes(f,i). 2πiRes(f,-i). 2πi[Res(f,i)+Res(f,-i)].

∫z^3 / (z^4 + i) dz lungo la circonferenza di centro z=0 e raggio 2 vale. -πi. πi. -2πi. 2πi.

∫1/[2+cos(t)]^2 dt tra 0 e 2π vale. 4π√3/9. 2πi(41/270+1/3). 2πi(-1/3). 2π.

∫x^2 / (x^4+5x^2+6)dx da -∞ a +∞ vale. 2πi. (3/√3)π. (3-√6)/(√3) π. (3+√6)/(√3) π.

∫x^2 / (x^2+1)^3 dx da -∞ a +∞ vale. 2π/3. πi/16. π/8. πi/8.

∫cos(3x)/(x^2+1)dx da 0 a +∞ vale. πe^3 /2. π/(2e^3). π/e^3. πi/(2e^3).

∫[xsin(x)]/(x^2+1)dx da 0 a +∞ vale. π/e. πi/e. πi/(2e). π/(2e).

∫cos(x)/x dx da -∞ a +∞ vale. 1. πi. 0. π.

Sia Λ il cammino costituito dai due archi di circonferenza centrati in z=0, di raggio rispettivamente r e R e dai due segmenti che congiungono tali archi, partendo dal semiasse Re(z)>0 fino alla retta che forma un angolo di 2π/3 con tale semiasse. Sia f(z)=√z/(z3+1). Se Cr(0) e CR(0) sono i due archi di circonferenza e λ è il segmento sulla retta che forma un angolo di 2π/3 con Re(z)>0, allora l'integrale di f(z) su Λ è. ∫√x/(x^3+1)dx+∫√x/(x^3+1)dx, dove il primo integrale è calcolato da r a R e il secondo lungo λ. ∫√x/(x^3+1)dx-∫√z/(z^3+1)dz + ∫√z/(z^3+1)dz +∫√z/(z^3+1)dz, dove il primo integrale è calcolato da r a R, il secondo lungo Cr(0), il terzo lungo CR(0) e il quarto lungo λ. ∫√x/(x^3+1)dx-∫√(iy)/[(iy)^3+1)]dy +∫√(iy)/[(iy)^3+1]dy+∫√x/(x^3+1)dx, dove il primo integrale è calcolato da r a R, il secondo lungo Cr(0), il terzo lungo CR(0) e il quarto lungo λ. ∫√z/(z^3+1)dz+∫√z/(z^3+1)dz, dove il primo integrale è calcolato lungo Cr(0) ed il secondo lungo CR(0).

Sia Λ il cammino dell'esercizio precedente. Se r è sufficientemente piccolo e R è sufficientemente grande, la funzione f(z)=√z/(z^3+1) ha. nessun polo all'interno di Λ. soltanto il polo z1=½+(√3/2)i all'interno di Λ. i due poli z1=½+(√3/2)i e z2=½-(√3/2)i all'interno di Λ. i tre poli z1=½+(√3/2)i, z2=½-(√3/2)i e z3=-1 all'interno di Λ.

Utilizzando i risultati ottenuti nei due esercizi precedenti ed il teorema dei residui, si ottiene che ∫√x/(x^3+1)dx da 0 a +∞ vale. πi. πi/3. π/3. π.

Sia Lf(s) la trasformata di Laplace di una funzione f(x). Allora. il limite di Lf(s) per Im(s)→+∞ è uguale a 0. il limite di Lf(s) per Re(s)→+∞ è uguale a 0. il limite di Lf(s) per Im(s)→0 è uguale a 0. il limite di Lf(s) per Re(s)→+∞ è uguale a +∞.

Se la trasformata di Laplace di f(x) è definita in s0∈C, allora. è definita ∀s∈C, con Re(s)<Re(s0). è definita ∀s∈C, con Im(s)>Im(s0). è definita ∀s∈C. è definita ∀s∈C, con Re(s)>Re(s0).

Sia H(x) la funzione di Heaviside. Allora la trasformata di Laplace di f(x)=H(x)cos(ax), con a∈R, è. Lf(s)=s/(s^2+a^2). Lf(s)=1/(s^2-a^2). Lf(s)=s/(s^2-a^2). Lf(s)=1/(s^2+a^2).

Sia H(x) la funzione di Heaviside e sia f(x) una funzione trasformabile secondo Laplace. Se a>0, la trasformata di Laplace di g(x)=f(x-a)H(x-a) è L. Lg(s)=f(a)LH(s). Lg(s)=H(a)Lf(s). Lg(s)=e(-sa) Lf(s). Lg(s)=e^(sa) Lf(s).

Sia f(x) una funzione periodica di periodo T e sia f0(x)=f(x) se x∈[0,T], f0(x)=0 se x∉[0,T]. Sia H(x) la funzione di Heaviside. Allora L(fH)(s) è uguale a. Lf(s)LH(s). Lf0(s)[1/(1-e^(-Ts) )]. Lf0(s)(1-e^(-Ts) ). Lf0(s)H(s).

Se la trasformata di Laplace di f(x) converge in Re(s)>a e la trasformata di Laplace di g(x) converge in Re(s)>b, allora. La trasformata di Laplace di f(x)+g(x) converge in Re(s)>min{a,b}. La trasformata di Laplace di f(x)+g(x) converge in Re(s)>max{a,b}. La trasformata di Laplace di f(x)+g(x) converge in Re(s)>a+b. La trasformata di Laplace di f(x)+g(x) converge in Re(s)>(a+b)/2.

Sia H(x) la funzione di Heaviside. Ricordando che la trasformata di Laplace di H(x)sin(x) è la funzione f(s)=1/(1+s^2), si ottiene, utilizzando la formula dell'integrale della trasformata di Laplace, che. L[H(x)sin(x)](s)=arctan(s). L[H(x)sin(x)](s)=π/2-arctan(s). L[H(x)sin(x)](s)=π/2+arctan(s). L[H(x)sin(x)](s)=π+arctan(s).

Sia f(x) una funzione derivabile con f'(x) trasformabile secondo Laplace in Re(s)>a. Se f(x) è trasformabile secondo Laplace in Re(s)>b, si ha che ∀s∈C con Re(s)>max(a,b). Lf'(s)=sLf(s)-f'(0+). Lf'(s)=Lf(s)-f(0+). Lf'(s)=sLf(s)-f(0+). Lf'(s)=sLf(s)+f(0+).

Sia H(x) la funzione di Heaviside e sia f(x)=xsin(x)H(x). Allora, ricordando che L[sin(x)H(x)](s)=1/(1+s^2), si ha. L[-xsin(x)H(x)](s)=1/(1+s^2)^2. L[-xsin(x)H(x)](s)=-2s/(1+s^2)^2. L[-xsin(x)H(x)](s)=-s/(1+s^2)^2. L[-xsin(x)H(x)](s)=s/(1+s^2)^2.

Sia g(x) una funzione la cui trasformata di Laplace è G(s)=1/(s2+4) e sia F(s)=2/[(s-1)^2+4]. Allora l'antitrasformata di Laplace di F(s) è. f(x)=2e^(-x) G(x). f(x)=2e^x G(x). f(x)=2e^x g(x). f(x)=2e^(-x) g(x).

Sia H(x) la funzione di Heaviside. L'antitrasformata di Laplace di F(s)=1/(s+4) è. f(x)=4e^(-4x) H(x). f(x)=e^(-4x) H(x). f(x)=4e^(4x) H(x). f(x)=e^(4x) H(x).

Sia H(x) la funzione di Heaviside. Ricordando che la trasformata di Laplace di x2H(x) è f(s)=2/s^3 e la trasformata di Laplace di cos(ωx)H(x) è g(s)=s/(s^2+ω^2), si ottiene che l'antitrasformata di Laplace di F(s)=1/s^3 + 3s/(s^2+9) è. f(x)=x^2 H(x) + cos(3x)H(x). f(x)=½ x^2 H(x) + cos(x)H(x). f(x)=½ x^2 H(x) + 3cos(3x)H(x). f(x)=x^2 H(x) + 3cos(x)H(x).

Si consideri il problema di Cauchy y''+2y'+5y=0, y(0)=2, y'(0)=4. Se si trasformano secondo Laplace entrambi i membri dell'equazione, indicando con Y(s) la trasformata di y, si ottiene l'equazione. (s^2+2s+5)Y(s)=s. (s^2+2s+5)Y(s)=2s. s^2+2s+5=sY(s). s^2+2s+5=2sY(s).

Utilizzando il risultato dell'esercizio precedente e antitrasformando secondo Laplace, si ottiene che la soluzione del problema di Cauchy, per t>0, è. y(t)=[2cos(2t)-sin(2t)] e^(-t) H(t). y(t)=[2cos(2t)-sin(2t)] e^t H(t). y(t)=[cos(2t)-sin(2t)] e^(-t) H(t). y(t)=[cos(2t)-2sin(2t)] e^(-t) H(t).

Si consideri il problema di Cauchy (moto armonico forzato): y''+y=t, y(0)=0, y'(0)=0. La soluzione,se H(t) è la funzione di Heaviside, per t>0, è. y(t)=[t+sin(t)]H(t). y(t)=[t-sin(t)]H(t). y(t)=[cos(t)-t]H(t). y(t)=[t-cos(t)]H(t).

Si consideri il problema di Cauchy: ty''(t)+2y'(t)+ty(t)=sinh(t)H(t), y(0)=0, y'(0)=0, per t>0 (dove H(t) è la funzione di Heaviside). Trasformando secondo Laplace entrambi i membri dell'equazione e indicando con Y(s) la trasformata di y(t), si ottiene. -(s^2+1)Y'(s) = 1/(s^2+1). -(s^2+1) Y'(s) = 1/(s^2-1). (s^2+1) Y'(s) = 1/(s^2-1). (s^2+1) Y'(s) = 1/(s^2+1).

Utilizzando il risultato dell'esercizio precedente, si ottiene che Y'(s) può essere scritto come. Y'(s)=1/[2(s^2+1)] + 1/[2(s^2-1)]. Y'(s)=1/(s^2+1) - 1/(s^2-1). Y'(s)=1/(s^2+1) + 1/(s^2-1). Y'(s)=1/[2(s^2+1)] - 1/[2(s^2-1)].

Utilizzando i risultati ottenuti nei due esercizi precedenti e ricordando le antitrasformate di funzioni note, si ottiene che la soluzione del problema di Cauchy del primo esercizio è. y(t)=[H(t)(sinh(t)-sin(t)]/(2t), dove H(t) è la funzione di Heaviside. y(t)=[H(t)(cosh(t)+cos(t)]/(2t), dove H(t) è la funzione di Heaviside. y(t)=[H(t)(sinh(t)+sin(t)]/(2t), dove H(t) è la funzione di Heaviside. y(t)=[H(t)(cosh(t)-cos(t)]/(2t), dove H(t) è la funzione di Heaviside.

Utilizzando il risultato dell'esercizio precedente, si ottiene che la soluzione del problema di Cauchy è. u(t)=∫sin(t-s)cos(s)ds, dove l'integrale è calcolato da 0 a t. u(t)=∫sin(t-s)cos(s)ds, dove l'integrale è calcolato da -t a t. u(t)=∫cos(t-s)sin(s)ds, dove l'integrale è calcolato da -t a t. u(t)=∫cos(t-s)cos(s)ds, dove l'integrale è calcolato da 0 a t.

Siano u e v due funzioni trasformabili secondo Laplace e sia u∗v il loro prodotto di convoluzione. Allora. L(u∗v)=L(u v). L(u∗v)=L(u)L(v). L(u∗v)=L(u)+L(v). L(u∗v)=L(u)∗L(v).

Si consideri il problema di Cauchy u''(t)+u(t)=H(t)cos(t), u(0)=0, u'(0)=0, per t>0 (dove H(t) è la funzione di Heaviside). Trasformando secondo Laplace entrambi i membri dell'equazione e indicando con Y(s) la trasformata di Laplace di u(t), si ottiene. Y(s)=1/(s^2+1) ⋅ 1/(s^2+1). Y(s)=1/(s^2+1) ⋅ [-s/(s^2+1)]. Y(s)=1/(s^2+1) ⋅ 1/(1-s^2). Y(s)=1/(s^2+1) ⋅ s/(s^2+1).

Se f(x) è una funzione di variabile reale a valori reali 2π-periodica e integrabile su [0,2π], allora. il limite per k→+∞ di f(x)cos(kx) è uguale a 0. il limite per k→+∞ di ∫f(x)sin(kx)dx, dove l'integrale è calcolato da 0 a 2π, è uguale a 0. il limite per k→+∞ di ∫|f(x)|2cos(kx)dx, dove l'integrale è calcolato da 0 a 2π, è uguale a 0. il limite per k→+∞ di ∫|f(x)|2sin(kx)dx, dove l'integrale è calcolato da 0 a 2π, è uguale a 0.

Sia f(x) una funzione di variabile reale a valori reali, 2π-periodica. I coefficienti di Fourier di f(x) sono definiti come. ak=1/π∫f(x)cos(kx)dx, k≥0, e bk=1/π∫f(x)sin(kx)dx, k≥1, dove entrambi gli integrali sono calcolati da 0 a π. ak=∫f(x)cos(kx)dx, k≥0, e bk=∫f(x)sin(kx)dx, k≥1, dove entrambi gli integrali sono calcolati da -π a π. ak=1/(2π)∫f(x)cos(kx)dx, k≥0, e bk=1/(2π)∫f(x)sin(kx)dx, k≥1, dove entrambi gli integrali sono calcolati da -π a π. ak=1/π∫f(x)cos(kx)dx, k≥0, e bk=1/π∫f(x)sin(kx)dx, k≥1, dove entrambi gli integrali sono calcolati da -π a π.

L'identità di Parseval afferma che. 1/π∫|f(x)|2dx=a02/2+Σ(ak2+bk2)|f(x)|2, dove l'integrale è calcolato da 0 a 2π e la serie è per k che va da 1 a +∞. 1/π∫|f(x)|dx=a02/2+Σ(ak2+bk2), dove l'integrale è calcolato da 0 a 2π e la serie è per k che va da 1 a +∞. 1/π∫|f(x)|2dx=Σ(ak2+bk2), dove l'integrale è calcolato da 0 a 2π e la serie è per k che va da 1 a +∞. 1/π∫|f(x)|2dx=a02/2+Σ(ak2+bk2), dove l'integrale è calcolato da 0 a 2π e la serie è per k che va da 1 a +∞.

Utilizzando lo sviluppo in serie di Fourier dell'esercizio precedente e l'identità di Parseval, si ottiene che la somma della serie Σ1/k^4, per k che va da 1 a +∞, è. π^2 / 2. π^4 / 90. π^4. π^4 / 45.

Sia f(x)=x^2 se x∈[-π,π) e 2π-periodica su R. I coefficienti di Fourier di f(x) sono. a0=0, ak=(-1)^k 2 / k^2 e bk=0, se k≥1. a0=0, ak=2/k^2 e bk=(-1)^k 2/ k, se k≥1. a0=2π^2 / 3, ak=(-1)^k 4/k^2 e bk=0, se k≥1. a0=2π^2 /3, ak=(-1)^k 4/k^2 e bk=(-1)^k 4/k, se k≥1.

Sia f(x)=sin2^(x). Allora la serie di Fourier di f(x) è. Ff(x)=½-½cos(2x). Ff(x)=½+½sin(2x). Ff(x)=½-½sin(2x). Ff(x)=½+½cos(2x).

Sia g(x)=4 se x∈[0,π) e g(x)=0 se x∈[π,2π), 2π-periodica su R. Utilizzando lo sviluppo in serie di Fourier dell'onda quadra, si ottiene che la serie di Fourier di g(x) è. 4/π Σsin[(2n+1)x]/(2n+1), con n che va da 0 a +∞. 2+8/π Σcos[(2n+1)x]/(2n+1), con n che va da 0 a +∞. 2+4/π Σsin(2nx)/(2n+1), con n che va da 0 a +∞. 2+8/π Σsin[(2n+1)x]/(2n+1), con n che va da 0 a +∞.

Sia h(x)=1 se x∈[0,π) e h(x)=-1 se x∈[π,2π) 2π-periodica si R. Utilizzando lo sviluppo in serie di Fourier dell'onda quadra, si ottiene che la serie di Fourier di h(x) è. 4/π Σsin[(2n+1)x]/(2n+1) con n che va da 0 a +∞. 4+4/π Σcos[(2n+1)x]/(2n+1) con n che va da 0 a +∞. 2+2/π Σcos[(2n+1)x]/(2n+1) con n che va da 0 a +∞. 1+1/π Σsin[(2n+1)x]/(2n+1) con n che va da 0 a +∞.

Sia f(x) la funzione onda quadra. Allora. i coefficienti di Fourier di f(x) sono a0=1, ak=0 se k≥1 e bk=-2 se k≥1 dispari. f(x) è una funzione dispari e quindi ak=0 ∀k≥0. f(x) è una funzione pari e quindi bk=0 per k≥0. i coefficienti di Fourier di f(x) sono a0=1, ak=0 se k≥1 pari e ak=-2 se k≥1 dispari e bk=0 se k≥1.

Sia f(x) una funzione periodica con pulsazione ω e semiperiodo t, con sviluppo in serie di Fourier dato da Σc_k e^(ikx), con k che va da -∞ a +∞. Allora. ck=1/t ∫f(x)e^(-iωkx) dx, dove l'integrale è esteso da -t a t, ∀k∈Z. ck=1/(2t) ∫f(x)e^(iωkx) dx, dove l'integrale è esteso da -t a t, ∀k∈Z. ck=1/(2t) ∫f(x)e^(-iωkx) dx, dove l'integrale è esteso da -t a t, ∀k∈Z. ck=1/t ∫f(x)e^(iωkx) dx, dove l'integrale è esteso da -t a t, ∀k∈Z.

Sia z=x+iy in C. Allora la funzione esponenziale f(z)=e^z è definita come. e^y [cos(x)+isin(x)]. e^x [sin(y)+icos(y)]. e^x [cos(y)+isin(y)]. e^(x+y) [cos(y)+isin(y)].

Sia f(x) una funzione di variabile reale a valori reali periodica di periodo T. Allora la pulsazione di f(x) è. ω=2π. ω=T/2π. ω=2T/π. ω=2π/T.

Sia f(x)=x se x∈[0,1] periodica di periodo 1 in R. La serie di Fourier di f converge puntualmente alla funzione. s(x)=x se x∉Z e s(x)=1/2 se x∈Z. s(x)=x se x∉Z e s(x)=1 se x∈Z. s(x)=x. s(x)=x se x∉Z e s(x)=0 se x∈Z.

Per il teorema di convergenza puntuale di una serie di Fourier, se f ha un salto in x0 ed esistono finite f'+(x0+) e f'-(x0-), allora. la serie di Fourier di f converge in x0 e la somma è s(x0)=[f(x0+)+f(x0-)]/2. non è detto che la serie di Fourier di f converga in x0. la serie di Fourier di f converge in x0 e la somma è s(x0)=[f(x0+)-f(x0-)]/2. la serie di Fourier di f converge in x0 e la somma è s(x0)=[f'+(x0+)+f'-(x0-)]/2.

Il teorema di Dirichlet afferma che. Se f è una funzione periodica di periodo T e limitata e se l'intervallo [0,T] si può scomporre in un numero finito di sottointervalli in cui f è monotona, allora la serie di Fourier di f converge puntualmente a s(x)=[f(x+)+f(x-)]/2 ∀x∈[0,T]. Se f è una funzione periodica di periodo T e limitata e se l'intervallo [0,T] si può scomporre in un numero finito di sottointervalli in cui f è monotona, allora la serie di Fourier di f converge puntualmente a s(x)=f(x) ∀x∈[0,T]. Se f è una funzione periodica di periodo T e limitata, allora la serie di Fourier di f converge puntualmente a s(x)=[f(x+)+f(x-)]/2 ∀x∈[0,T]. Se f è una funzione periodica di periodo T e se l'intervallo [0,T] si può scomporre in un numero finito di sottointervalli in cui f è monotona, allora la serie di Fourier di f converge puntualmente a s(x)=[f(x+)+f(x-)]/2 ∀x∈[0,T].

Sia f(x)=|x| se x∈[-1,1] periodica di periodo 2 in R. Allora. Si può applicare il teorema di convergenza uniforme di una serie di Fourier ad f e quindi la serie di Fourier di f converge uniformemente ad f in ogni intervallo del tipo (a,b) contenuto in [-1,1], ma non in tutto [-1,1]. non è possibile applicare il teorema di convergenza uniforme di una serie di Fourier ad f perché f non è continua ∀x∈R. non è possibile applicare il teorema di convergenza uniforme di una serie di Fourier ad f perché f non è derivabile ∀x∈R. Si può applicare il teorema di convergenza uniforme di una serie di Fourier ad f e quindi la serie di Fourier di f converge uniformemente ad f in [-1,1].

Sia f(x)=|x| se x∈[-π,π) periodica di periodo 2π in R. Allora. la serie di Fourier di f si può derivare termine a termine in ogni intervallo [a,b]⊂(-π,π) perché sono soddisfatte le ipotesi del teorema di derivazione di serie di Fourier. non si può applicare il teorema di derivazione di serie di Fourier perché f non è continua in R. non si può applicare il teorema di derivazione di serie di Fourier perché la derivata di f non è continua in [-π,π). la serie di Fourier di f si può derivare termine a termine in ogni intervallo [-π,π] perché sono soddisfatte le ipotesi del teorema di derivazione di serie di Fourier.

Sia f(x)=x2 se x∈[-π,π) periodica di periodo 2π su R. La sua serie di Fourier è (2/3)π^2+4Σ(-1)k/k^2cos(kx), dove k va da 1 a +∞. Allora. la serie di Fourier di f converge uniformemente ad f(x) e, derivando la serie termine a termine, si ha che f'(x)=4Σsin(kx)/k, con k da 1 a +∞, se x≠±π. la serie di Fourier di f converge uniformemente ad f(x) e, derivando la serie termine a termine, si ha che f'(x)=4Σ(-1)k+1/k2 sin(kx), con k da 1 a +∞, se x≠±π. la serie di Fourier di f converge uniformemente ad f(x) e, derivando la serie termine a termine, si ha che f'(x)=4Σ(-1)k/k sin(kx), con k da 1 a +∞, se x≠±π. la serie di Fourier di f converge uniformemente ad f(x) e, derivando la serie termine a termine, si ha che f'(x)=(4/3)π-4Σ(-1)k/k sin(kx), con k da 1 a +∞, se x≠±π.

Sia u(x)=xζ(x), dove ζ(x)=1 se x∈[-1,1] e ζ(x)=0 altrove. Allora. u non è in L1(R) perché è illimitata. u∈L1(R). u non è in L1(R) perché non è continua. u non è in L1(R) perché non è derivabile.

Sia u∈L1(Rn). Allora. il limite per |s|→+∞ di u^(s) vale 0. ||u|| in L1(Rn) è ≤ ||u^|| in L∞(Rn). il limite per |s|→+∞ di u^(s) vale +∞. u^(s) ha al più un numero finito di punti di discontinuità.

Sia u una funzione di variabile reale a valori complessi e inoltre sia u∈L1(R). Allora la trasformata di Fourier di u è. u^(s)=∫u(x)e^(isx)dx, dove l'integrale è da 0 a +∞. u^(s)=∫u(x)e^(-isx)dx, dove l'integrale è da -π a π. u^(s)=∫u(x)e^(-isx)dx, dove l'integrale è da -∞ a +∞. u^(s)=1/(2π)∫u(x)e^(isx)dx, dove l'integrale è da -π a π.

Sia u∈L1(Rn) continua e limitata e sia u^∈L1(Rn). Allora. u(x)=∫u^(s)exp(-is⋅x)ds, dove l'integrale è esteso ad Rn, ∀x∈Rn. u(x)=1/(2π)n∫u^(s)exp(is⋅x)ds, dove l'integrale è esteso ad Rn, ∀x∈Rn. u(x)=1/(2π)n∫u^(s)exp(-is⋅x)ds, dove l'integrale è esteso ad Rn, ∀x∈Rn. u(x)=∫u^(s)exp(is⋅x)ds, dove l'integrale è esteso ad Rn, ∀x∈Rn.

Sia u(x)=1-x^2 se x∈[-1,1], u(x)=0 altrimenti. Allora. u^(s)=4/s^2 cos(s) se s≠0, u^(0)=1. u^(s)=4/s^3 sin(s)-4/s^2 cos(s) se s≠0, u^(0)=0. u^(s)=4/s^3 sin(s) se s≠0, u^(0)=4/3. u^(s)=4/s^3 sin(s)-4/s^2 cos(s) se s≠0, u^(0)=4/3.

Sia f una funzione di variabile reale a valori in C, con f∈L1(R) continua a tratti e limitata, con trasformata di Fourier f^∈L1(R). Allora. l'antitrasformata di Fourier di f^ è uguale a ½[f(x+)+f(x-)] ∀x∈R. non è detto che esista l'antitrasformata di Fourier di f^. l'antitrasformata di Fourier di f^ è uguale ad f(x) ∀x∈R. l'antitrasformata di Fourier di f^ è uguale ad f(-x) ∀x∈R.

Sia f(x)=1 se x∈[-1,1] e f(x)=0 altrimenti. Ricordando che la sua trasformata di Fourier per s≠0 è f^(s)=2sin(s)/s, si ottiene che la trasformata di Fourier di g(x)=1 se x∈[-3,3] e g(x)=0 altrimenti è. g^(s)=2sin(s/3)/s se s≠0. g^(s)=3/2 sin(s/3)/s se s≠0. g^(s)=6sin(s/3)/s se s≠0. g^(s)=2/3 sin(s/3)/s se s≠0.

Sia f(x)=1 se x∈[-1,1] e f(x)=0 altrimenti. Ricordando che la sua trasformata di Fourier è f^(s)=2sin(s)/s se s≠0, si ottiene che la trasformata di Fourier di g(x)=1 se x∈[1,3] e g(x)=0 altrimenti è. g^(s)=2e^(-is) sin(s)/s se s≠0. g^(s)=2e^(-2is) sin(s)/s se s≠0. g^(s)=2e^(-is) sin(s-2)/(s-2) se s≠0. g^(s)=2e^(-3is) sin(s)/s se s≠0.

Sapendo che la trasformata di Fourier di f(x)=1/(x^2+1) è f^(s)=πe^(-|s|), si ha che la trasformata di Fourier di f'(x)=-2x/(x^2+1)^2 è. (f')^(s)=-2i s^2 / (s^2+1)2. (f')^(s)=πis e^(-|s|). (f')^(s)=πe^(-i|s|). (f')^(s)=is / (s^2+1)^2.

Sia u(x)=exp(-3xì2). Allora. u^(s)=√π exp(-sì2 / 4). u^(s)=√(π/3) exp(-3s^2). u^(s)=√(π/3) exp(-s^2 /12). u^(s)=√(π/3) exp(-s^2 /3).

Utilizzando il risultato dell'esercizio precedente e l'espressione della trasformata di Fourier di una derivata, si ottiene. g^(s)=sin^2(s) / s^2 se s≠0. g^(s)=sin^2 (s/2) / (s/2)^2 se s≠0. g^(s)=sin^2 (2s) / (2s)^2 se s≠0. g^(s)=i sin^2 (s/2) / (s/2)^2 se s≠0.

Siano g(x)=|x| se x∈[-1,1], g(x)=0 altrimenti e f(x)=1 se. g'(x)=½f(x+½)-½f(x-½). g'(x)=f(x-½)-f(x+½). g'(x)=½f(x+½)-f(x-½). g'(x)=f(x+½)-f(x-½).

Sia u(x)=exp(-x^2 / 2). Allora. u'(x)=-½xu(x). u'(x)=xu(x). u'(x)=-xu(x). u'(x)=u(x).

Ricordando che la trasformata di Fourier di u(x)=exp(-ax^2), se a>0, è u^(s)=√(π/a) exp(-1/(4a) s^2), tresformando l'equazione differenziale dell'esercizio precedente, si ottiene l'equazione differenziale. (u^(s))'=-su^(s). (u^(s))'=-½su^(s). (u^(s))'=u^(s). (u^(s))'=su^(s).

La soluzione del problema di Cauchy (u^(s))'=-su^(s), u^(0)=√(2π), ha soluzione. u^(s)=√(2π) exp(-½ s^2). u^(s)=√π exp(-¼ s^2). u^(s)=√(2π) exp(-¼ s^2). u^(s)=√π exp(-½ s^2).

Il teorema di Plancherel afferma che. se u^∈L2(Rn), allora u∈L2(Rn) e ||u||≤(2π)n/2||u^||, dove entrambe le norme sono la norma di L2(Rn). u∈L2(Rn) se e solo se u^∈L2(Rn) e ||u^||=(2π)n/2||u||, dove entrambe le norme sono la norma di L2(Rn). se u∈L2(Rn), allora u^∈L2(Rn) e ||u||≤(2π)n/2||u^||, dove entrambe le norme sono la norma di L2(Rn). u∈L2(Rn) se e solo se u^∈L2(Rn) e (2π)n/2||u^||=||u||, dove entrambe le norme sono la norma di L2(Rn).

Sia uR come nell'esercizio precedente. Allora. ||uR-u|| non tende a 0 in L2(Rn) e ||uR^-u^|| non tende a 0 in L2(Rn). ||uR-u||→0 in L2(Rn), ma ||uR^-u^|| non tende a 0 in L2(Rn). ||uR^-u^||→0 in L2(Rn), ma ||uR-u|| non tende a 0 in L2(Rn). ||uR-u||→0 in L2(Rn) e ||uR^-u^||→ 0 in L2(Rn).

Sia u∈L2(Rn) e sia uR(x)=u(x) se x∈BR(0) e uR(x)=0 se x∉BR(0), dove BR(0) è la sfera di raggio R centrata in 0. Allora. uR∈L2(Rn), ma uR∉L1(Rn). uR∉L2(Rn) e uR∉L1(Rn). uR∈L1(Rn), ma uR∉L2(Rn). uR∈L2(Rn)∩L1(Rn).

Siano u e u1 come nell'esercizio precedente. Sapendo che u1^(s)=sin(s/2)/(s/2) se s≠0, e utilizzando il prodotto di convoluzione, si ottiene che. u^(s)=sin(s2/2)/(s2/2) se s≠0. u^(s)=sin^2(s/2)/(s/2) se s≠0. u^(s)=sin(s2/2)/(s/2) se s≠0. u^(s)=[sin(s/2)/(s/2)]^2 se s≠0.

Sia u(x)=1-|x| se x∈[-1,1] e u(x)=0 altrimenti e sia u1(x)=1 se x∈[-½,½] e u1(x)=0 altrimenti. Allora. (u1∗u1)(x)=u(x) ∀x∈R. (u∗u)(x)=u1(x) ∀x∈R. (u1∗u)(x)=u1(x) ∀x∈R. (u1∗u1)(x)=u(x) solo se x>0.

Se u e v sono in L1(Rn), allora. (u∗v)^=u^∗v^. (uv)^=u^∗v^. (uv)^=u^v^. (u∗v)^=u^v^.

Lo spazio vettoriale Lloc1(A), con A aperto di Rn. è uno spazio normato con norma coincidente con la norma di L1(A). è uno spazio normato con norma coincidente con la norma euclidea di Rn. non è uno spazio normato, ma vi è definita una nozione di convergenza. vi è definita una nozione di convergenza, secondo la quale, se uk è una successione in Lloc1(A) che converge a u in Lloc1(A), allora si ha che uk converge ad u in L1(A).

Sia u(x)=1/x^2. Allora. u∈Lloc1(0,+∞). u∈Lloc1(-1,1). u∈L1[0,+∞). u∈Lloc1(R).

Sia u definita in A⊆Rn, a valori in C, una funzione misurabile. Allora il supporto di u è l'insieme costituito da. la chiusura dell'immagine di u in A. ∀x∈A: u(x)≠0 e tutti i possibili limiti di punti in cui u(x)≠0. ∀x∈A: u(x)≠0. ∀x∈A: u(x)=0.

Sia D'(A) lo spazio vettoriale delle distribuzioni in A. Allora. Lp(A)⊆Lloc1(A) e quest'ultimo è un sottoinsieme di D'(A). Lloc1(A)⊆D'(A), ma non è detto che Lp(A) sia un sottoinsieme di D'(A). D'(A)⊆Lloc1(A). esistono funzioni in Lloc1(A) che non possono essere considerate come distribuzioni.

Lloc1(A)⊆D'(A), ma non è detto che Lp(A) sia un sottoinsieme di D'(A). una funzione. una distribuzione che non è una funzione. una distribuzione di ordine 1. tale che, ∀v∈D(A), supK|v(x)|≤|<δ,v>| ∀K⊆A, K compatto.

Sia D(A) lo spazio delle funzioni di classe C∞ a supporto compatto su A. Se L è una distribuzione, allora. ∀vk∈D(A) con vk convergente a v in D(A), si ha che L(vk) converge a L(v) in C. se vk∈D(A) e vk→0 per k→+∞, allora non è detto che L(vk)→0. se vk∈D(A) e vk→v in D(A) per k→+∞, non è detto che L(vk-v)→0. L è definita su D(A), è a valori in D(A) ed è lineare.

Sia u∈L1(R2) una funzione tale che ∫u(x)dx=1, dove l'integrale è su R2, e sia uk(x)=k2u(kx) una successione in L1(R2). Allora. è uguale a ∫u(kx)/k2 v(x)dx, ∀v∈D(R2), dove l'integrale è su R2. è uguale a ∫u(kx)v(x)dx, ∀v∈D(R2), dove l'integrale è su R2. è uguale a ∫u(x/k)v(x)dx, ∀v∈D(R2), dove l'integrale è su R2. è uguale a ∫u(x)v(x/k)dx, ∀v∈D(R2), dove l'integrale è su R2.

Sia uk∈Lloc1(A), con uk→u in Lloc1(A), per k→+∞. Allora. non è detto che uk→u in D'(A). uk→u in D'(A). non è detto che |∫[uk(x)-u(x)]v(x) dx|→0 per k→+∞ ∀v∈D(A), dove l'integrale è esteso ad A. ||uk-u||≤supA|v(x)| ∀v∈D(A), dove la norma è la norma di L1(A).

Sia u∈L1(Rn) tale che ∫u(x)dx=1, dove l'integrale è su Rn, e sia uk(x)=knu(kx) una successione in L1(Rn). Allora. uk→δ per k→+∞, in D'(Rn), dove δ è la Delta di Dirac. <uk,v>→<u,v> per k→+∞, ∀v∈D(Rn). u(y)v(y/k)→u(y) per k→+∞ ∀y∈Rn e ∀v∈D(Rn). |u(y)v(y/k)|≤||v||, ∀v∈D(Rn), dove la norma è la norma di L∞(Rn).

Sia u∈D'(A) una distribuzione. Allora. u è sempre derivabile come distribuzione, anche se non lo è in senso classico come funzione. u è sempre derivabile una volta come distribuzione, ma non è detto che esista la derivata seconda (sempre nel senso delle distribuzioni). u è derivabile come distribuzione se e solo se u è derivabile come funzione. u è sempre derivabile come distribuzione e si ha <Dxiu,v>=<u,Dxiv>, ∀v∈D(A), dove Dxi indica la derivata rispetto alla variabile xi.

Sia u(x)=1 se x≥1 e u(x)=0 altrimenti. Se denotiamo con δx0 la delta di Dirac centrata in x0, cioè la distribuzione tale che <δx0,v>=v(x0) ∀v∈D(R), si ha che. u non è derivabile nel senso delle distribuzioni perché non è continua. u è derivabile nel senso delle distribuzioni e u'=δ1. u è derivabile nel senso delle distribuzioni e u'=1/2 δ1+1/2 δ0. u è derivabile nel senso delle distribuzioni e in senso classico (come funzione).

Sia u(x)=½ se -1≤x≤1, u(x)=1 se x>1 e u(x)=0 se x<-1. Se denotiamo con δx0 la Delta di Dirac centrata in x0, cioè la distribuzione tale che <δx0,v>=v(x0) ∀v∈D (R), si ha che. u è derivabile nel senso delle distribuzioni e u'=½(δ1+δ-1). u è derivabile nel senso delle distribuzioni e u'=-3/2 δ1+1/2 δ-1. u è derivabile nel senso delle distribuzioni e in senso classico (come funzione). u non è derivabile nel senso delle distribuzioni perché u non è continua.

Sia u∈D'(A) una distribuzione e sia a un multiindice in N^n. Allora. D^a u è una distribuzione definita da <D^a u,v>=(-1)^(|a|) <u,Dav> ∀v∈D(A), dove |a|=a1+a2+...+an. D^a u non è necessariamente una distribuzione. D^a u è una distribuzione se e solo se u, come funzione, è derivabile parzialmente rispetto a x1,...,xn. D^a u è una distribuzione definita da <D^a u,v>=-<u,D^a v> ∀v∈D(A).

Sia u(x)=1/x, definita per x≠0. Allora. u∉Lloc1(R) e il suo valore principale è pv(1/x)=limε→01/x ζε(x) come distribuzione, dove ζε(x)=1 se -ε<x<ε, ζε(x)=0 altrimenti, con ε>0. u∈Lloc1(R) e pertanto u∈D'(R). u∈Lloc1(R), ma u∉L1(R). u∉Lloc1(R) e il suo valore principale è pv(1/x)=limε→01/x ζε(x) come distribuzione, dove ζε(x)=0 se -ε<x<ε, ζε(x)=1 altrimenti, con ε>0.

Sia pv(1/x) la distribuzione valore principale di 1/x. Allora. ln|x| è derivabile nel senso delle distribuzioni e la sua derivata è -pv(1/x). pv(1/x) non è derivabile nel senso delle distribuzioni. pv(1/x) è derivabile nel senso delle distribuzioni e la sua derivata è ln|x|. ln|x| è derivabile nel senso delle distribuzioni e la sua derivata è pv(1/x).

Sia u∈S'(Rn). Allora. la derivata rispetto a xi di u è in S'(Rn) e <Dxiu,v>=-<u,Dxiv> ∀v∈S(Rn), dove Dxi indica la derivata rispetto alla variabile xi. la derivata rispetto a xi di u è in S'(Rn) e <Dxiu,v>=<u,Dxiv> ∀v∈S(Rn), dove Dxi indica la derivata rispetto alla variabile xi. non è detto che la derivata rispetto a xi di u sia in S'(Rn) ∀i=1,...,n. la derivata rispetto a xi di u è in S'(Rn) e <Dxiu,v>=<Dxiu,Dxiv> ∀v∈S(Rn), dove Dxi indica la derivata rispetto alla variabile xi.

Sia S(R) lo spazio delle funzioni regolari a decrescenza rapida su R. Allora. f(x)=xexp(-x^2)∈S(R). f(x)=sin(x)∈S(R). f(x)=e^x + e^(-x) ∈S(R). f(x)=x^3 - x^2 - x ∈S(R).

Sia S(Rn) lo spazio delle funzioni regolari a decrescenza rapida su Rn. Allora, se v∈S(Rn). esiste sempre la trasformata di Fourier di v ed appartiene anch'essa a S(Rn). la trasformata di Fourier di v esiste, ma non è detto che valga la formula di inversione. non è detto che esista la trasformata di Fourier di v. esiste sempre la trasformata di Fourier di v, ma non è detto che appartenga a S(Rn).

Sia S(Rn) lo spazio delle funzioni regola a decrescenza rapida su Rn. Se vk∈S(Rn) ∀k e v∈S(Rn), allora vk→v in S(Rn) per k→+∞ se. limk→+∞supRn|xmDjvk(x)-xmDjv(x)|=0 ∀j,m∈Nn. limk→+∞supRn|Djvk(x)-Djv(x)|=0 ∀j∈Nn. limk→+∞|xmDjvk(x)-xmDjv(x)|=0 ∀j,m∈Nn. limk→+∞supRn|vk(x)-v(x)|=0.

Sia S'(Rn) lo spazio delle distribuzioni temperate su Rn. Allora. δ ∈ S'(Rn), dove δ è la Delta di Dirac. se u∈S'(Rn), non è detto che anche xD2u∈S'(Rn). Lp(Rn)⊆S'(Rn) ∀p∈(1,+∞], ma L1(Rn)⊄S'(Rn). la funzione u(x)=1 non è in S'(Rn).

Sia D'(R) lo spazio delle distribuzioni su R e S'(R) lo spazio delle distribuzioni temperate su R. Allora. la funzione u(x)=c, con c costante, non appartiene a S'(R). Lloc1(R)⊆S'(R). esistono funzioni u∈Lloc1(R) tali che u∉S'(R). esistono funzioni in Lloc1(R) che non appartengono a D'(R).

Sia u una distribuzione trasformabile secondo Laplace e sia l l'ascissa di convergenza. Sia inoltre w(t) una funzione di classe C∞(R) tale che w(t)=0 se t≤-1 e w(t)=1 se t≥0. La trasformata di Laplace di u è. <u , w e^(-(s-l)t) >. <u e^(lt) , w e^(-(s-l)t) >. <w ue^(-lt),e^(-(s-l)t)>. <ue^(-lt),we^(-(s-l)t)>.

La trasformata di Laplace di u=2δ''-3δ'+5δ, dove δ è la Delta di Dirac e δ' e δ'' sono rispettivamente la derivata prima e la derivata seconda di δ, è. una funzione esponenziale. un polinomio di primo grado. un polinomio di secondo grado. una funzione costante.

Si consideri il problema di Cauchy y''+y=δ(t), con y(0)=y'(0)=0. Sia Y la trasformata di Laplace di y. Allora, trasformando secondo Laplace l'equazione differenziale, si ottiene. Y=s (s^2+1). Y=-1/(s^2+1). Y=1/(s^2+1). Y=-s/(s^2+1).

Sia uk(x)=1 se -k≤x≤k e uk(x)=0 altrimenti una successione in S'(R). Allora si ha. uk^→2πδ in S'(R) per k→+∞. uk^→δ in S'(R) per k→+∞. uk^→0 in S'(R) per k→+∞. uk^→1 in S'(R) per k→+∞.

Sia u una distribuzione temperata. La sua trasformata di Fourier u^ è definita da. <u^,v>=-<u,v^> ∀v∈S(Rn). <u^,v>=<u,v^> ∀v∈S(Rn). <u^,v>=(-1)n<u,v^> ∀v∈S(Rn). <u^,v>=<u^,v^> ∀v∈S(Rn).

La trasformata di Fourier di sgn(x) è 2/i pv(1/s). Se si scrive la funzione di Heaviside come H(x)=[sgn(x)+1]/2, si ottiene che la trasformata di Fourier di H è. 1/i pv(1/s)-πδ. 1/i pv(1/s)+πδ. pv(1/s)+πiδ. 1/(2πi) pv(1/s)+2πδ.