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Quali sono gli elementi distintivi di un problema di decisione. Un problema di decisione è caratterizzato dalla presenza di un insieme di soluzioni ammissibili tra cui scegliere, da uno o più criteri (tipicamente un costo da minimizzare o un vantaggio da massimizzare) e dall'obiettivo di individuare la soluzione ottima che soddisfa al meglio il criterio stabilito. Ogni soluzione ammissibile rappresenta una decisione concreta.

Qual è la differenza tra analisi del problema decisionale e identificazione del modello nell'approccio modellistico?. L'analisi del problema decisionale studia la struttura del problema per individuare i legami logici tra gli elementi della decisione e gli obiettivi da perseguire, mentre l'identificazione del modello traduce questi elementi in termini matematici definendo variabili, funzione obiettivo e vincoli.

Quali sono i passi previsti per l'identificazione del modello nell'approccio modellistico?. I passi previsti sono la definizione delle variabili di decisione, la definizione della funzione obiettivo da massimizzare o minimizzare e la definizione dell'insieme dei vincoli che esprimono i legami e le limitazioni tra le variabili.

Formulare il seguente problema del trasporto. Un'azienda produttrice di saponette ha uno stabilimento a Milano e uno a Napoli dove avviene la produzione. Tale produzione è soggetta a una limitazione di 10000 pezzi prodotti a settimana. Le saponette prodotte vengono immagazzinate in tre depositi a Torino, Roma e Matera. La domanda settimanale di saponette verso il deposito di Torino è di 3500 saponette, verso il deposito di Roma è di 2500 saponette e verso il deposito di Matera è di 4000 saponette. Il costo in euro del trasporto di ogni saponetta da uno stabilimento a un deposito è riportato nella seguente tabella. Formulare il problema di decisione dell'azienda che vuol minimizzare il costo complessivo del trasporto delle saponette dagli stabilimenti ai depositi assicurando che la domanda settimana verso ciascun deposito sia soddisfatta dalla produzione dei due stabilimenti. Il problema di trasporto può essere formulato come problema di ottimizzazione lineare. Definiamo le variabili di decisione x_Milano_Torino, x_Milano_Roma, x_Milano_Matera come quantità di saponette trasportate dallo stabilimento di Milano rispettivamente a Torino, Roma e Matera, e x_Napoli_Torino, x_Napoli_Roma, x_Napoli_Matera come quelle dallo stabilimento di Napoli. La funzione obiettivo da minimizzare è il costo totale: 2 x_Milano_Torino + 2,5 x_Milano_Roma + 9 x_Milano_Matera + 7 x_Napoli_Torino + 3 x_Napoli_Roma + 7 x_Napoli_Matera. I vincoli di domanda richiedono che x_Milano_Torino + x_Napoli_Torino = 3500, x_Milano_Roma + x_Napoli_Roma = 2500 e x_Milano_Matera + x_Napoli_Matera = 4000. I vincoli di produzione settimanale impongono che la somma delle quantità spedite da Milano sia minore o uguale a 10000 e analogamente per Napoli. A questi si aggiungono i vincoli di non negatività per tutte le variabili.

Descrivere in maniera sintetica l'approccio modellistico per la risoluzione di problemi di decisione. L'approccio modellistico consiste nel rappresentare un problema decisionale attraverso un modello matematico che ne esprima variabili, vincoli e funzione obiettivo. Prevede le fasi di analisi del problema, identificazione del modello, analisi delle proprietà del modello (esistenza, unicità, condizioni di ottimalità, stabilità), soluzione numerica tramite algoritmi e infine validazione della soluzione ottenuta, con possibilità di iterare se la soluzione non è accettabile.

Dimostrare che il problema di massimizzazione MAX(X,f) associato alla coppia (X,f) è equivalente al problema di minimizzazione associato alla coppia (X,-f). Per dimostrare l'equivalenza si considerano tre casi. Se MAX(X,f) è inammissibile, allora X è vuoto e quindi anche MIN(X,-f) è inammissibile. Se MAX(X,f) è illimitato superiormente, per ogni M esiste x in X tale che f(x) > M; moltiplicando per -1 si ha -f(x) < -M, quindi per ogni valore M' = -M esiste x in X con -f(x) < M', cioè MIN(X,-f) è illimitato inferiormente. Se MAX(X,f) ammette soluzione ottima x* con f(x*) ≥ f(x) per ogni x in X, moltiplicando per -1 si ottiene -f(x*) ≤ -f(x) per ogni x in X, quindi x* è punto di minimo per -f su X. La corrispondenza biunivoca tra le soluzioni ottime e i valori ottimi (f(x*) = -(-f(x*))) completa l'equivalenza.

Dare la definizione di problema di ottimizzazione, di soluzione ammissibile e soluzione ottima. Un problema di ottimizzazione è definito da una coppia (X, f) dove X è un insieme non vuoto detto insieme delle soluzioni ammissibili e f : X → R è una funzione obiettivo da minimizzare o massimizzare. Una soluzione ammissibile è un qualsiasi elemento x appartenente a X. Una soluzione ottima per un problema di minimizzazione è un elemento x̄ ∈ X tale che f(x̄) ≤ f(x) per ogni x ∈ X; per un problema di massimizzazione è un elemento x̄ ∈ X tale che f(x̄) ≥ f(x) per ogni x ∈ X.

Dare la definizione di problema di ottimizzazione inammissibile e di problema di ottimizzazione illimitato. Un problema di ottimizzazione si dice inammissibile o vuoto se l’insieme delle soluzioni ammissibili X è vuoto, cioè non esiste alcuna soluzione che soddisfi tutti i vincoli. Un problema di minimizzazione si dice illimitato inferiormente se per ogni valore reale M esiste una soluzione ammissibile x ∈ X tale che f(x) < M; un problema di massimizzazione si dice illimitato superiormente se per ogni valore M esiste x ∈ X tale che f(x) > M. In entrambi i casi il problema non ammette soluzione ottima finita.